发布时间 : 星期一 文章2018_2019瀛﹀勾楂樹腑鏁板绗簩绔犵┖闂村悜閲忎笌绔嬩綋鍑犱綍2.5澶硅鐨勮绠楄缁冩鍖楀笀澶х増 - 鐧惧害鏂囧簱更新完毕开始阅读0a79cba377c66137ee06eff9aef8941ea66e4b67
2.5 夹角的计算
[A.基础达标]
1.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos〈m,n〉=-则l与α所成的角θ为( ) A.30° C.135°
2,2
B.45° D.150° 2
解析:选B.因为cos〈m,n〉=-,所以〈m,n〉=135°,故l与α所成的角θ
2
为45°.
2.设ABCD,ABEF都是边长为1的正方形,FA⊥平面ABCD,则异面直线AC与BF所成的角等于( )
A.45° B.30° C.90° D.60°
→→→
解析:选D.设AD=a,AB=b,AF=c,|a|=|b|=|c|=1. →→→→→→
AC=AB+AD=a+b,BF=BA+AF=-b+c. →→→→→→AC·BF=(a+b)·(c-b)=-b2=|AC||BF|cos〈AC,BF〉.
1→→
所以cos〈AC,BF〉=-,故AC与BF所成的角为60°.
2
3.正四棱锥S-ABCD中,SA=AB=2,则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为( )
36A. B. 666
3
→→→
解析:选C.设平面ABCD的中心为O,以OA,OB,OS为x,y,z轴正向建立坐标系,A(2,
→→
0,0),C(-2,0,0),S(0,0,2),B(0,2,0),SB=(0,2,-2),BC=(-2,
→→→
-2,0),AC=(-22,0,0),设n=(x,y,z)为平面SBC的法向量,由n⊥SB,n⊥BC→AC·n3→
得y=z=-x,可取n=(1,-1,-1),cos〈AC,n〉==-.
→3|AC||n|
C.
D.
3→
故AC与平面SBC所成角的正弦值为|cos〈AC,n〉|=. 3
4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于( )
610A. B. 44
C.2 2
D.3 2
3 3
→→→
解析:选A.取AC中点为D,连接BD,得BD为平面ACC1A1的法向量,设AB=a,AC=b,
→→
1AB1·BD6→→→→→→→→→
AA1=c,则AB1=AB+BB1=a+c,BD=BA+AD=-a+b,cos〈AB1,BD〉==-,2→→4
|AB1||BD|
6→→
故AB1与平面ACC1A1所成角的正弦值为|cos〈AB1,BD〉|=.
4
5.已知三条射线PA,PB,PC的两两夹角都是60°,则二面角A-PB-C的余弦值为( ) 16A. B. 33
C.3 2
D.3 3
解析:选A.在PA、PB、PC上取点D、E、F使得PD=PE=PF,可知三棱锥D-PEF为正四面体,取PE中点H,连接DH,FH,得∠DHF为二面角A-PB-C1→→→→→→→→→
的平面角,设PF=a,PE=b,PD=c,则HD=HP+PD=-b+c,HF=HP+PF2
→→
1HD·HF1→→=-b+a,cos〈HD,HF〉==. 2→→3
|HD||HF|
2π
6.在空间中,已知二面角α-l-β的大小为,n1,n2分别是平面α,β的法向量,
3
则〈n1,n2〉的大小为________.
解析:因二面角α-l-β的大小是它们两个半平面的法向量夹角或夹角的补角.当二面
2π22π
角α-l-β的大小为时,则〈n1,n2〉的大小为π或π-. 333
π2π答案:或 33
7.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别是C1D1,CC1的中点,则直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为________.
解析:建立如图坐标系,D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),M(0,1,2),N(0,2,1),
→→→
DB=(2,2,0),DM=(0,1,2),B1N=(-2,0,-1),设
→→
n=(x,y,z)为平面BDM的法向量,由n·DB=0,n·DM=0,得
→n·B1N→
y=-x=-2z,可令n=(2,-2,1),cos〈n,B1N〉=
→|n||B1N|=-
55→
,故B1N与平面BDM所成角的正弦值为|cos〈n,B1N〉|=. 33
5
3
答案:
9
8.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边4长为3 的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为________.
解析:法一:392
(3)·AA1=,得AA1=3. 44
23AA13
易得∠APA1是PA与平面ABC所成角,A1P=××3=1,tan∠APA1===3,
32A1P1
π
故∠APA1=. 3→→→
法二:令A1C1=a,A1B1=b,A1A=c,则|a|=|b|=|c|=3,
111→→→→→→→→→=1,|PAPA1=-A1P=-(a+b),PA=PA1+A1A=-a-b+c,|PA1|=PA|=1·PA1333
→→PA1·PA1π→→→→=2,cos〈PA,PA〉==,故PA与平面ABC所成角的大小为. 1PA·PA→→23|PA1||PA|
π答案: 3
9.在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥底面ABC,∠ACB=90°,AA1=AC=BC=2,D为AB中点.
(1)求证:BC1∥平面A1CD;
(2)求直线AA1与平面A1CD所成角的正弦值. 解:(1)证明:连接AC1交A1C于O点, 则DO为△ABC1的中位线,故DO∥BC1, 又DO平面A1CD,BC1平面A1CD, 所以BC1∥平面A1CD.
(2)以CA,CB,CC1所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),A1(2,
→??n·CD=0,??x+y=0,
0,2),D(1,1,0),设平面A1DC的法向量为n=(x,y,z),由?得?
?→-x+y-2z=0,??n·A1D=0,?
令x=1得n=(1,-1,-1).
设直线AA1与平面A1CD所成角为α,
3?-2?→
则sin α=|cos〈AA1,n〉|=??=3. ?23?
10.如图,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,AF⊥平面ABCD,CE⊥平面ABCD. (1)证明:BD⊥EF;
(2)若AF=1,且二面角B-EF-C的大小为30°,求CE的长.
解:(1)证明:连接AC,因为AF⊥平面ABCD,CE⊥平面ABCD. 所以AF∥CE,所以四边形ACEF在同一平面内, 因为AF⊥平面ABCD,所以AF⊥BD, 又因为ABCD为正方形,所以AC⊥BD, 因为AF∩AC=A,所以BD⊥平面ACEF, 所以BD⊥EF.
(2)以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AF所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标
系(如图).设CE=a,则B(1,0,0),F(0,0,1),E(1,1,a).
→→
所以BF=(-1,0,1),BE=(0,1,a).
设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,1),得到→??m·BF=(x,y,1)·(-1,0,1)=0,
所以m=(1,-a,1). ?
→??m·BE=(x,y,1)·(0,1,a)=0,
→
由(1)知平面CEF的一个法向量是 DB=(1,-1,0),
|a+1|3→
所以|cos〈DB,m〉|==cos 30°=. 222·a+2
所以a=2,即CE=2.
[B.能力提升]
1.在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
解析:选C.建立如图所示的空间直角坐标系,则∠PAO=60°,
22
所以OP=3,OA=1,AB=2,P(0,0,3),A(,-,
220),B(
→
2222223
,,0),C(-,,0),E(-,,), 2222442
223223→
,,3),BE=(-,-,), 22442
AP=(-
22→→
cos〈AP,BE〉==,
2×22
→→
所以〈AP,BE〉=45°,
即异面直线PA与BE所成角为45°.
2.如图所示,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC,且分别交AC,SC于D,E,又SA=AB,SB=BC,则以BD为棱,以BDE与BDC为面的平面角的度数为( )
A.90° B.30° C.60° D.45°
解析:选C.以A为原点,以AC所在直线为y轴,以AS所在直线为z轴,以和AS,AC都垂直的直线AF为x轴,建立空间直角坐标系.
设SA=1,
因为SA⊥平面ABC,
→
所以AS是平面ABC的一个法向量.
22
因为SA=AB=1,SB=SA+AB=2, 又SB=BC,所以BC=2,