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2013-2014学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案 Page 1 of 9
北 京 交 通 大 学
2013~2014学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）
参 考 答 案
某些标准正态分布的数值
x 0.34 0.6631 0.53 0.7019 0.675 0.75 1.16 0.877 1.74 0.9591 1.96 0.975 2.33 0.99 2.58 0.995 ??x? 其中??x?是标准正态分布的分布函数． 一．（本题满分8分）
某人钥匙丢了，他估计钥匙掉在宿舍里、教室里以及路上的概率分别为0.4、0.35和0.25，而钥匙在上述三个地方被找到的概率分别为0.5、0.65和0.45．如果钥匙最终被找到，求钥匙是在路上被找到的概率． 解：
设B?“钥匙被找到”．
A1?“钥匙掉在宿舍里”，A2?“钥匙掉在教室里”，A3?“钥匙掉在路上”． 由Bayes公式，得 P?A3B??P?A3?P?BA3??P?A?P?BA?iii?13
?0.25?0.45?0.2083．
0.4?0.5?0.35?0.65?0.25?0.45二．（本题满分8分）
抛掷3枚均匀的硬币，设事件
A??至多出现一次正面?，B??正面与反面都出现?
判断随机事件A与B是否相互独立（4分）？如果抛掷4枚均匀的硬币，判断上述随机事件A与B是否相互独立（4分）？
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解：
⑴ 如果抛掷3枚硬币，则样本点总数为23?8．
41633?，P?B???，P?AB??， 82848313所以有 P?AB?????P?A?P?B?，因此此时随机事件A与B是相互独立的．
824 P?A?? ⑵ 如果抛掷4枚硬币，则样本点总数为24?16．
514741，P?B???，P?AB???， 16168164157所以有 P?AB?????P?A?P?B?，因此此时随机事件A与B不是相互独立的．
4168 P?A??三．（本题满分8分）
设随机变量X的密度函数为
?4?1?x?30?x?1f?x???．
其它?0求：⑴ E?X?（4分）；⑵ P?X?E?X??（4分）． 解： ⑴ E?X??1?????xf?x?dx??x?4?1?x?dx
301 ?4??x?3x0231?1?1?3x3?x4dx?4???1?????0.2．
45?5?2? ⑵ P?X?E?X???P?X?0.2??10.2?4?1?x?dx
311 ?40.2??1?3x?3x231?256??x3dx?4??x?x2?x3?x4???0.409．6
24?0.2625??四．（本题满分8分）
某加油站每周补给一次汽油，如果该加油站每周汽油的销售量X（单位：千升）是一随机变量，其密度函数为
4?1?x??1??0?x?100 f?x???20???100??0其它?第 2 页 共 9 页
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试问该加油站每次的储油量需要多大，才能把一周内断油的概率控制在2%以下？ 解：
设该加油站每次的储油量为a．则由题意，a应满足0?a?100，而且
P?X?a??0.02．
而 P?X?a?????f?x?dx??aa1001?x?a??f?x?dx??f?x?dx????1??dx??1??．
20?100??100?100a??10045a??所以，应当有， ?1???0.02．
?100?所以，得 1?a5a， ?0.02，即 1?50.02?100100581因此有 a?100?1?50.02?54.269494．因此可取a?55（千升），即可使一周内断油的概
??率控制在5%以下．
五．（本题满分8分）
设平面区域D是由双曲线y?1，?x?0?以及直线y?x，x?2所围，二维随机变量?X,Y?服从xy?（4分）；⑵ 随机变量Y区域D上的均匀分布．求：⑴ 二维随机变量?X,Y?的联合密度函数f?x,的边缘密度函数fY?y?（4分）． 解：
⑴ 区域D的面积为
1?? A???x??dx?2x2?lnxx?1?2??21?6?ln2，
所以，二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为
?1?y???6?ln2??0f?x,?x,?x,y??Dy??D ．
⑵ 当
1?x?1时， 2?? fY?y?????f?x,211?1???y?dx?dx?2?； ???6?ln216?ln2?y?y 当1?x?2时，
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?? fY?y?????f?x,11?2?y?． y?dx?dx?6?ln2?6?ln2y2所以，随机变量Y的边际密度函数为
?1?1?1??2??y?1???y?2?6?ln2??1?2?y?1?y?2 ． fY?y???6?ln2???0其它?六．（本题满分8分）
设随机变量X与Y满足：var?X??2，var?Y??4，cov?X,Y??1，再设随机变量U?2X?3Y，
V?3X?2Y，求二维随机变量?U,V?的相关系数?U,V．
解：
var?U??var?2X?3Y??4var?X??9var?Y??12cov?X,Y??4?2?9?4?12?32， var?V??var?3X?2Y??9var?X??4var?Y??12cov?X,Y??9?2?4?4?12?22， cov?U,V??cov?2X?3Y,3X?2Y?
?6var?X??6var?X??4cov?X,Y??9cov?X,Y??6?2?6?4?13?1?23． 所以，二维随机变量?U,V?的相关系数为 ?U,V?cov?U,V?2323???0.8668451157．
var?U?var?V?3222811七．（本题满分8分） 设?X1,?X1?X2?X2?是取自正态总体N?0,?2?中的一个样本．试求随机变量Y??（不?X?X??的分布．
2??12必求出Y的密度函数，只需指出Y是哪一种分布，以及分布中的参数即可．） 解：
由于X1~N?0,?2?，X2~N?0,?2?，而且X1与X2相互独立，所以 X1?X2~N?0,2?2?，X1?X2~N?0,2?2?．
vX1?X2,由于 co?X1?X2??va?rX1??va?rX2??0，
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