发布时间 : 星期五 文章量子跃迁理论更新完毕开始阅读0bab6a5ea31614791711cc7931b765ce05087ab0
???d?间变化的光波的能量密度为I???d?，因此，应将上式中用I???d?代替I并对入射光的频率分布范围积分。即得在连续频率分布的入射光照射下，原子在单位时间内由?k态跃迁到?m态的几率为
wm?k???4?2es22?I???d??rmk?cos2????mk???
2整理得：
wm?k?4?2es22?rmk?cos2??I???????mk???d?
?2 ?4?2es22?rmk?cos2??I??mk?
2(9.3.9)
上式表明入射光中如果没有频率等于玻尔频率?mk的光，即I??mk??0，则不能引起Ek→Em的跃迁。我们前面提过，一般的入射光，光源是各向同性的，E0的偏振方向是无规则的，电场E在空间各个方向的振动机会均等，即?取值也是各个方向几率相同的。因此，上式应对所有偏振振动方向求其平均值，即先求和（积分），然后对总立体角4?求平均，或者令d?方向立体角的光能量密度为
I??mk??d?，则总的跃迁几率为各个方向求和（积分）为： 4?
将上式积分得
wm?k??4?2es22?rmk?I??mk?2?d??cos2? 4?(9.3.10)
wm?k?4?2es22?rmk2cos2??sin?d?d??I??mk???
4???0??0?2?4?2es22??I?r??mkmk 32下面我们计算受激辐射与吸收系数。根据爱因斯坦受激辐射理论，我们知道
BkmI??mk?：经典力学表示在外界光波照射下，原子在单位时间由Ek能级跃迁到Em能级，并吸收能量为?光子的几率。而上式wm?k：量子力学表示，表示的也正是这一意义。因此
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wm?k4?2es22?I?r?BkmI??mk????mkmk 23根据(9.3.1)和(9.3.2)求得：
Bmk4?2es22?Bkm?r mk23(9.3.11)
?3mk4es2?3mk2Amk?32Bmk?r mkc?32c3(9.3.12)
判断一个系统各态之间能否跃迁的规则在量子力学建立之前，选择定则是人们从实验上观测光谱线规律总结出来的量子力学建立之后，我们可以用量子力学知识计算出来。
在之前的讨论中，我们得到原子在光波作用下，由Ek态跃迁到Em态的几率与rmk成正比；因而当矩阵元rmk?0时，之前所取得近似内，这种跃迁就不能实现，称为禁戒跃迁。我们可以通过判断wm?k是否为零来判断计算的精确程度，近似程度，可以有一级禁戒、二级禁戒、和严格禁戒，要求在各级近似下，跃迁几率都为零或精确解，跃迁几率为零。几率不为零的跃迁称为允许跃迁。不同的问题，考虑的跃迁近似情况不同。如电偶极跃迁、磁偶极跃迁、电四级、磁四级、电八级跃迁都有各自不同的选择定则。
在原子物理中，一般考虑到电偶极跃迁已经是很好的近似了。但如果讨论的是x射线，其频率较高，则k?r不可忽略，这时就要考虑更高级的近似。如磁偶极，电四级跃迁，其选择定则也各不同。原子电偶极跃迁的跃迁速率为
2wm?k可见：wm?k4?2es22??I?r?mk?mk 23I??mk?。跃迁几率与入射光照中频率等于玻尔频率的能量密度
I??mk?成正比，如果入射光中，没有这个频率的入射光，则wm?k?0。但一般情况下，入射光中都有这样的频率（光源的光频率可认为连续分布），那么这时wm?k一定不等于零吗？显然不一定。wm?k还与rmk成正比。即原子电偶极跃迁频率
2wm?k?rmk。如果rmk=0，跃迁是禁戒的。因此，原子电偶极跃迁能够实现的
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22条件，即原子电偶极跃迁的选择定则：rmk?0。即rmk?xmk?ymk?zmk?0，这三个坐标跃迁阵元中只要有一个不为零，跃迁就能发生即：xmk?0，或
ymk?0，或zmk22222222?0。同时，跃迁阵元与初末态的性质有关，原子中的电子在
中心势场（库仑场）中运动，其初末态为其定态波函数。设原子初态原子末态?m??n?l?m??r,?,???Rn?l??r?Yl?m???,??，?k??nlm?r,?,???Rnl?r?Ylm??,??，
*?nlmd??0，采用球坐标系坐标的跃迁阵元rn?l?m?,nlm?0。如xmk??mx?k???n?l?m?x比较简单。利用以下公式可计算各坐标的跃迁阵元
?r?xi?yj?zk??x?r?sin?cos??1rsin???ei??e?i???2 ??y?r?sin?sin??1rsin???ei??e?i???2i?z?rcos??利用球谐函数的正交性
*Ylm??,??Yl?m???,????Ylm??,??Yl?m???,??d???ll???mm?
以及球谐函数的递推公式：
cos?Ylm??l?m??l?m?Y???l?1?m??l?1?m?Y
?2l?1??2l?1?l?1.m?2l?1??2l?3?l?1,msin??e?i?Ylm???lm??lm?Y?2l?1??2l?1?l?1.m?1?l?m?1??l?m?2?Yl?1,m?1
?2l?1??2l?1?可以计算出（自己做练习，也可作业）rn?l?m?,nlm?0的条件，即原子电偶极跃迁的选择定则：
?n：任意 ?l?l??l??1
?m?m??m?0,?1
如在电偶极近似下，?320态和?432态间不能跃迁，因为?m?2?0?2。实际上，选择定则反映着某种守恒定律的要求，是系统对称性的结果。实际上并不需要知道系统的波函数和微扰算符的具体细节，仅从对称性的讨论，便解得出有关的选
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择定则。如?l??1，是由于系统宇称守恒的需要。?m?0,?1是角动量的选择定则。
例题：求有微扰的带电一维线性谐振子电偶极跃迁的选择定则 解：电偶极跃迁
wm?k?rmk?xmk 选择定则xmk?0有跃迁
22??k xmk??mx其中?n??n?x??Nn?Hn??x?e阵元表示xmn?1??2x22 n?0,1,2,利用振子坐标在能量表象中的
?1?n?1n????m,n?1m,n?1?，????22??? xmk??m?x?x?k?x?
??1?k?1k????m,k?1m,k?1?
??22??0
所以m?k?1时，xmk?0
m?k?1时，xmk?0。有跃迁，即选择定则?m?m?k??1。即在电偶极近
似作用下，直接跃迁只能在谐振子的相邻能级间发生。 3、自发辐射
之前学习过，在电偶极近似下，用微扰论计算从低能级Ek吸收能量跃迁到高能级Em的跃迁几率wm?k?BkmI??mk?，从而给出了爱因斯坦的吸收系数。量子理论给出了
4?2es22Bkm??r mk23Bmk?Bkm
这两个系数显然是通过量子力学理论计算出来的，用量子力学描述原子，用经典
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