发布时间 : 星期六 文章行列式的例题更新完毕开始阅读0bc2574be45c3b3567ec8baa
再将n-1阶行列式的第1行乘（-1）加到其余各行后，将第1，2，?，n-2列全加到第n-1列，得
1Dn?n(n?1)2?n1?n(n?1)2?n?1??n?1??n1?nn?n?1
=n(n+1)/2 (-1) (n-1)(n-2)/2(-n)n-2(-1) = n(n+1)/2 (-1)(n-1)n/2 nn-
2
三．利用递推法计算行列式
1． 计算n阶行列式
a?x?yDn?0?0ax?y?0a0x?0????a00??ya00 ?x解： 将行列式按第n列展开，可得
?y1?nx?yx??x?yDn?xDn?1?a(?1)
=xDn-1+ayn-1
∴Dn= xDn-1+ayn -1=x(xDn-2+ayn-2)+ ayn-1=? =xn-1D1+ayn -1+ayn-2x+ ?+ayxn-2 =xn+a(xn-1+xn-2y+?+xyn-2+yn-1) 注：此题可按第一行展开即得结果。
2．计算n阶行列式
???1Dn?0?0?????1?00???000?000???????0
?1???解： 将行列式按第一行展开，可得 Dn=(a+β)Dn-1 - aβDn-2
∴Dn-aDn-1 = β(Dn-1 - aDn-2)=β2(Dn-2 - aDn-3)= …
=β n-2(D2 -aD1)
∵D1=a+β , D2 = (a+β)2 – aβ ,
∴Dn-aDn-1 = β n , Dn-1 - aDn-2 = β n-1 , … , D2 - aD1 = β 2, 将上述n-1个子式分别乘1 , a , a2, ? ,an-2后再相加得 Dn = an-1D1 + β n +a β n-1 + … + an-2 β 2
= an+an-1 β+an-2 β 2 + … + a β n-1+ β n .
四．利用范德蒙行列式计算和证明 1． 计算n阶行列式
aaDn?1?n(a?1)(a?1)?a?11n??(a?n)(a?n)?nn?1n?1n?1?a1。
??a?n1解： 把Dn+1的第n+1行换到第1行，第n行换到第2行，?，同时将Dn+1的第n+1列换到第1列，第n列依次换到第2列，?，再有范德蒙行列式，得
1Dn?1?a?n?(a?n)n1a?n?1?(a?n?1)n??1a?n
?a ?n!(n?1)!?2!?
2．已知方程
1?111111x124x2?1?j?i?n?1(i?j)。
1315x31?211111x124x21515x31?101122x145x21812x3?0，求x 。
解：由行列式的加法性质，原方程可化为
1121x123x149x2144x21815x1827x331?10111248122x13927145x21812x1xxx233
111
1?111?111
=(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0 得x=1或x=2或x=3。
五．行列式的应用
1． 证明三条不同的直线ax+by+c=0 , bx+cy+a=0 , cx+ay+b=0 相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0。 证明 先证“必要性”：设三直线交于一点，即方程组
?ax?by?cz?0?，即方程组有非零解， ?bx?cy?az?0 有一解（x0 ,y0 ,1）
?cx?ay?bz?0?abcaca?0 ba?b?ccaa?b?cab11c?ba?c1a?b b?c由克莱姆法则知bcabcaca?b1?(a?b?c)bc1caa?b?cbc1即bc
a?(a?b?c)0b0=(a+b+c)[(c-b)(b-c)-(a-c)(a-b)] =(a+b+c)(ab+ac+bc-a2-b2-c2)
= - (a+b+c)/ 2[(a-b)2 +(b-c)2 +(a-c)2)]=0
当a=b=c时等号成立，这时与三直线互异矛盾。 故只能a+b+c=0 . 再证“充分性”：
abcaca?0 b当a+b+c=0时，bc?ax?by?cz?0?即?bx?cy?az?0有非零解，不妨取（x0 ,y0 ,1），所以三直线有交点，而三直线?cx?ay?bz?0?互异，故必有唯一交点。
2．求一个一元二次多项式f(x)，使满足f(1)=0,f(2)=3,f(-3)=28 。 解： 设所求多项式为f(x)=ax2+bx+c ，
由条件f(1)=0,f(2)=3,f(-3)=28知，成立线性方程组
?a?b?c?0??4a?2b?c?3 ?9a?3b?c?28?112?31D2?4903281012?312?311??40, 103??20 28这时，A?491??20,D1?3112811?60,D3?419由克莱姆法则，得a=2,b= -3,c=1，知f(x)=2x2 - 3x+1。