发布时间 : 星期六 文章高等数学-第章 多元函数微分法极其应用 - 图文更新完毕开始阅读0bcd1abd85254b35eefdc8d376eeaeaad0f3167e
章节 第九章多元函数微分法及应用 §1 多元函数的基本概念 课时 2 教 学 目 的 理解邻域、内点、聚点、边界点和区域的概念，二元函数的概念，掌握多元函数的极限和连续性的概念 教学 重点 及 多元函数的基本概念，多元函数的极限和连续性 突出 方法 教学 难点 多元函数的极限与连续性，与一元函数类似，多元连续函数也有最大最小值定理，介值定理。 及 突破 方法 相关 参考 资料 《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P89-P107 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P449-P456 教学思路、主要环节、主要内容 教 学 过 程 9.1 多元函数的基本概念 二元函数的基本概念：设D是平面上一点集，若对每个点P(x,y)，∈D，变量z按照一定法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x,y的二元函数（或点P的函数），记为z=f(x,y)（或z=f(P)），D称为函数的定义域。 邻域：设P0(x0,y0)是xoy面上的一个点，δ是一正数。与点P0距离小于δ的点P(x,y)的全体，称为P0点的δ邻域，记为U(P0,δ)。 内点:设E是平面上一点集，P是平面上一点，若存在点P的某一个邻域U(P,δ)，使U(P,δ)包含于E，则称P为E的内点。 开集：若点集E的点都是内点，则称E为开集。 区域：若D既是开集，又是连通的，则称D为区域。 聚点：设E为平面上的一个点集，P是平面上的一个点，若P点的任一个邻域内总有无限多个点属于E，则称P为E的聚点。 多元函数的极限；设函数z=f(x,y)的定义域为D，P0(x0,y0)是D的聚点，若对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对适合不等式0?PP0?(x?x0)2?(y?y0)2??的一切点P(x,y)，都有f(x,y)?A??成立，则称A为函数f(x,y)当x→x0,y→y0时的极限，记为x?x0,y?y0limf(x,y)?A。 二元(多元)函数极限不存在的判别方法:如果点P沿不同曲线趋近于P0时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在。 正像一元函数的极限一样，二重极限也有与一元函数类似的运算法则. 二元函数的连续性: 如果当点(x,y)趋向点(x0,y0)时，函数f(x,y)的二重极限等于f(x,y)在点(x0,y0)处的函数值f(x0,y0)，那末称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果f(x,y)在区域D的每一点都连续，那末称它在区域D连续。 如果函数z=f(x,y)在(x0,y0)不满足连续的定义，那末我们就称(x0,y0)是f(x,y)的一个间断点。 关于二元函数间断的问题: 二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。 二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零)和复合函数仍是连续函数 有界闭区域上连续函数的性质: 最大值和最小值定理：在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最小值和最大值。 介值定理：在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。 有界性定理：在有界闭区域D上的多元连续函数一定有界。 结论：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 例题的讲解。 章节 第九章多元函数微分法及应用 §2 偏导数 课时 2 教 学 目 的 理解偏导数的概念及二元函数偏导数的几何意义，掌握一阶和二阶偏导数的计算方法，理解函数在某点偏导数存在但在该点不一定连续的正确含义。 教学 重点 及 突出 方法 偏导数的概念，一阶和二阶偏导数的计算方法。 教学 难点 及 突破 方法 偏导数的概念，一阶和二阶偏导数的计算方法。 通过偏导数定义，使学生了解偏导数与一元函数的导数的计算的联系。多元函数的偏导数，就是只有一个自变量变化（而其他自变量看成是常数）时，函数的变化率，因此，求多元函数的偏导数就相?z当于求一元函数的导数，一元函数的导数公式和求导法则在这里都适用。 相关 参考 资料 《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P108-P117 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P456-P460 教学思路、主要环节、主要内容 9.2 偏导数 一、偏导数的定义及计算法 在多元函数的微分运算中,函数的偏导数是最基本的运算. 下面我们就以二元函数为例，给出方向导数与偏导数的概念. 定义1(偏导数):设有二元函数f(x,y),M0(x0,y0)是一个确定的点. 固定y=y0,将f(x,y0)看成变量x的一元函数.如果x的函数f(x,y0)在点x0存在导数,也就是极限 limx?x0f(x,y0)?f(x0,y0)存在,则称极限值为二元函数f(x,y)在点M0(x0,y0)x?x0关于变元x的 偏导数, 记作?f/或fx(x0,y0)。 ?x(x0,y0)教 学 过 程 这就是说,为了求偏导数,只需固定y=y0,将f(x,y0)看成变量x的一元函数f(x,y0),对于x在点x0求导数就可以了. 因此从纯粹计算的观点看,求多元函数的偏导数于一元函数的导数没有什么区别. 同样, 二元函数f(x,y)在点M0(x0,y0)关于变元y的 偏导数为：?f?y=lim(x0,y0)y?y0f(x0,y)?f(x0,y0)/= fy(x0,y0) y?y0 对于三元函数乃至多元函数,可以类似地定义和计算偏导数。 对于多元函数,函数在某个点的偏导数存在性与函数在该点的连续性没有直接联系,不像一元函数那样简单：导数存在可以保证连续。 偏导数的求法： // 当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)都存在时， 我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导， 那末称函数f(x,y)在域D可导。 此时，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数， 称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。至于实际求偏导数，只要将二元函数中的一个变量固定，将其看作常数，对另一变量按照一元函数的求导法则求导即可。 通过例题熟悉偏导数的概念。 二、高阶偏导数 // 如果二元函数z=f(x,y)的偏导数fx(x,y)与fy(x,y)仍然可导， 那末这两个偏导函数的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数。 二元函数的二阶偏导数有四个：f\，f\，f\，f\。 注意：f\与f\的区别在于：前者是先对x求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y求偏导再对x求偏导。 定理：.如果函数的两个二阶混合偏导f\与f\都连续时，求导的结果与求导的先后次序无关，即f\。