发布时间 : 星期四 文章高等数学-第章 多元函数微分法极其应用 - 图文更新完毕开始阅读0bcd1abd85254b35eefdc8d376eeaeaad0f3167e
章节 第九章多元函数微分法及应用 §8 多元函数极值的求法 课时 2 教 学 目 的 会求二元函数的无条件极值及利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学 重点 二元函数的无条件极值及利用拉格朗日乘数法求及 突出 条件极值。 方法 教学 难点 二元函数的无条件极值及利用拉格朗日乘数法求及 突破 条件极值。 方法 相关 参考 资料 《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P175-P189 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P512-P520 教学思路、主要环节、主要内容 9.8 多元函数极值的求法 一、 多元函数的极值 二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。 定理1（必要条件） 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0。 定理2（充分条件） 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0，令 fxx(x0,y0) = A，fxy(x0,y0) = B，fyy(x0,y0) = C， 则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下： 2（1）AC-B>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值； 2（2）AC-B<0时没有极值； 2（2）AC-B=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。 利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数z = f(x,y)的极值的求法叙述如下： 第一步 解方程组 fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，求得一切实数解，即可求得一切驻点。 第二步 对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值A、B和C。 2第三步 定出AC-B的符号，按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值。 二、 条件极值 拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法 要找函数z = f(x, y)在附加条件φ(x, y) = 0下的可能极值点，可以先构成辅助函数 F（x, y）= f(x, y)+λφ(x, y) ， 其中λ为某一常数。求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程φ(x,y) 教 学 过 程 ?fx(x,y)???x(x,y)?0?= 0联立起来：?fy(x,y)???y(x,y)?0 ???(x,y)?0有这方程组解出x，y及λ，则其中x，y就是函数f(x,y)在附加条件φ(x,y) = 0下的可能极值点的坐标。 这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。 至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。 三、多元函数的最大、最小值问题 我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤，对于多元函数的极大值、极小值的求解也可采用同样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。如下： a)：根据实际问题建立函数关系，确定其定义域； b)：求出驻点； c)：结合实际意义判定最大、最小值. 9.10 最小二乘法 简要介绍最小二乘法的计算方法。 章节 第九章多元函数微分法及应用 习题（二） 课时 2 教 学 目 的 通过讲解习题及补充的例题，使学生掌握空间曲线的切线与法平面，空间曲面的法线与切平面，方向导数与梯度以及多元函数的极值的计算方法。 教学 重点 及 突出 方法 教学 难点 及 突破 方法 相关 参考 资料 《数学复习指南》2004版（理工），陈文登，黄先开，世界图书出版社，P273-P283 教学思路、主要环节、主要内容 教 学 第九章的后面习题及总复习题中存在的问题并补充一过 些考研题及陈文登复习资料上的一些题。 程