发布时间 : 星期三 文章轻杆模型中的机械能守恒更新完毕开始阅读0c4c10bb5ebfc77da26925c52cc58bd63086934e
轻杆模型中的机械能守恒
一、模型构建
轻杆两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动或关联运动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型． 二、模型条件
1．忽略空气阻力和各种摩擦．
2．平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等，关联运动时沿杆方向速度相等。 三、模型特点
1．杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒． 2．对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒．
L
1．[轻杆连接的系统机械能守恒]质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球处3有一个光滑固定轴O，如图8所示．现在把杆置于
水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置时，求：
图8
(1)小球P的速度大小；
(2)在此过程中小球P机械能的变化量．
2gL4
答案 (1) (2)增加mgL
39
解析 (1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q摆到最低位置时P球的速度为v，由于P、Q两球的角速度相等，Q球运动半径是P球运动半径的两倍，故Q球的速度为2v.由机械能守恒定律得 21112mg·L－mg·L＝mv2＋·2m·(2v)2，
3322
2gL
解得v＝. 3
114
(2)小球P机械能增加量ΔE＝mg·L＋mv2＝mgL 329
图5－3－9
如图5－3－9所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h.两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：
(1)两球在光滑水平面上运动时的速度大小； (2)整个运动过程中杆对A球所做的功．
【解析】 (1)因为没有摩擦，且不计球与地面碰撞时的机械能损失，两球在光滑地面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有：
L12
2mg(h＋sin θ)＝2×mv
22
解得：v＝2gh＋gLsin θ.
(2)因两球在光滑水平面上运动时的速度v比B单独从h处自由滑下的速度2gh大，增加的机械能就是杆对B做正功的结果．B增加的机械能为 121
ΔEkB＝mv－mgh＝mgLsin θ
22
因系统的机械能守恒，所以杆对B球做的功与杆对A球做的功的数值应该相等，杆对B球做正功，对A球做负功，所以
1
杆对A球做的功W＝－mgLsin θ.
2
1
【答案】 (1)2gh＋gLsin θ (2)－mgLsin θ
2
在利用轻杆模型求解问题时应注意以下两点：
(1)本类题目易误认为两球的线速度相等，还易误认为单个小球的机械能守恒．
(2)杆对球的作用力方向不再沿着杆，杆对小球P做正功从而使它的机械能增加，同时杆对小球Q做负功，使小球Q的机械能减少，系统的机械能守恒.
[变式训练]
9.如图8所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.1 m．两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2.则下列说法中正确的是( )
图8
A．整个下滑过程中A球机械能守恒 B．整个下滑过程中B球机械能守恒
22
C．整个下滑过程中A球机械能的增加量为 J D．整个下滑过程中B球机械能的增加量为 J
33
来源学科网ZXXK]答案 D
解析 在下滑的整个过程中，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，但在B球沿水平面滑行，而A沿斜面滑行时，杆的
1
弹力对A、B球做功，所以A、B球各自机械能不守恒，故A、B错误；根据系统机械能守恒得：mAg(h＋Lsin θ)＋mBgh＝(mA
2
212
＋mB)v2，解得：v＝6 m/s，系统下滑的整个过程中B球机械能的增加量为mBv2－mBgh＝ J，故D正确；A球的机械能
323
2
减少量为 J，C错误．
3
[例2] 如图5－3－2所示，质量分别为m和2m的两个小球A和B，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B球顺时针摆动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)( )
图5－3－2
A．B球的重力势能减少，动能增加，B球和地球组成的系统机械能守恒 B．A球的重力势能增加，动能也增加，A球和地球组成的系统机械能不守恒 C．A球、B球和地球组成的系统机械能守恒 D．A球、B球和地球组成的系统机械能不守恒
[解析] A球在上摆过程中，重力势能增加，动能也增加，机械能增加，B项正确；由于A球、B球和地球组成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒，C项正确，D项错误；所以B球和地球组成系统的机械能一定减少，A项错误。
[答案] BC
3.如图5－3－7所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量为m的球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速度释放。求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功？
图5－3－7
解析：设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB。如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，那么由于杆和球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。
111
若取B的最低点为重力势能参考平面，可得：2mgL＝mv2＋mv2＋mgL又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，AB
222故vB＝2vA
由以上二式得：vA＝
3gL，vB＝5
12gL。 5
根据动能定理，可解出杆对A、B做的功。
L12
对A有：WA＋mg＝mv －0，所以WA＝－0.2mgL。
22A
12
对B有：WB＋mgL＝mv －0，所以WB＝0.2mgL。 B
2答案：－0.2mgL 0.2mgL 4.
图5－3－11
(多选)轻杆AB长2L，A端连在固定轴上，B端固定一个质量为2m的小球，中点C固定一个质量为m的小球．AB杆可以绕A端在竖直平面内自由转动．现将杆置于水平位置，如图5－3－11所示，然后由静止释放，不计各处摩擦与空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．AB杆转到竖直位置时，角速度为
10g 9L4
B．AB杆转到竖直位置的过程中，B端小球的机械能的增量为mgL
9
C．AB杆转动过程中杆CB对B球做正功，对C球做负功，杆AC对C球做正功 D．AB杆转动过程中，C球机械能守恒
【解析】 在AB杆由静止释放到转到竖直位置的过程中，以B球的最低点为零势能点，根据机械能守恒定律有：
12
12
10g，A项正确．在此过程中，B端小球机械能9Lmg·2L＋2mg(2L)＝mgL＋×2m(ω·2L)2＋m(ωL)2，解得角速度ω＝142
的增量为：ΔEB＝E末－E初＝·2m(ω·2L)－2mg·(2L)＝mgL，B项正确．AB杆转动过程中，杆AC对C球不做功，杆CB对
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C球做负功，对B球做正功，C项错．C球机械能不守恒，B、C球系统机械能守恒，D项错．
【答案】 AB
6．内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为2R的轻杆，一端固定有质量为m的小球甲，另一端固
定有质量为2m的小球乙，将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图6所示．由静止释放后
( )
图6
A．下滑过程中甲球减少的机械能总等于乙球增加的机械能 B．下滑过程中甲球减少的重力势能总等于乙球增加的重力势能 C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D．杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点 答案 AD
解析 根据题设条件可知甲、乙两小球组成的系统满足机械能守恒定律，故A、D对，B错；由于乙球的质量大 于甲球的质量，所以甲球不可能沿凹槽下滑到槽的最低点，否则就不满足机械能守恒，C错．
11．半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m和3m的小球A和B.A、B之间用一长为2R的轻杆相连，如图10所示．开始时，A、B都静止，且A在圆环的最高点，现将A、B释放，试求：
图10
(1)B球到达最低点时的速度大小；
(2)B球在圆环右侧区域内能达到的最高点到圆环圆心的竖直高度．
3
答案 (1)2gR (2)R
2解析 (1)A、B组成的系统机械能守恒：
1122
mAgR＋mBgR＝mAv ＋mBv AB 22又A、B速度大小相同：vA＝vB 得：vA＝vB＝2gR
(2)设B球到圆环右侧最高点时，OB与竖直方向夹角为θ，设圆环圆心处的水平面为零势能面，由系统机械能守恒得：mAgR＝mBgRcos θ－mAgRsin θ 代入数据得：θ＝30° 所求竖直高度：h＝Rcos θ＝
3
R 2