发布时间 : 星期一 文章2020高中数学 第二章 2.3.1 直线与平面垂直的判定检测 新人教A版必修2更新完毕开始阅读0c5d3ebf9b8fcc22bcd126fff705cc1755275f85
.
2.3.1 直线与平面垂直的判定
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α； ②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α； ③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线； ④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直． A．0 B．1 C．2 D．3
解析：由直线和平面垂直的定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③错误，④正确．
答案：D
2．直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能( ) A．平行 C．异面
B．相交 D．垂直
解析：若l∥m，l?α，m?α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m不可能平行． 答案：A
3．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( ) ①三角形的两边 ②梯形的两边 ③圆的两条直径 ④正六边形的两条边 A．①③ C．②④
B．② D．①②③
解析：由线面垂直的判定定理可知①③是正确的，而②中线面可能平行、相交．④中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面垂直．
答案：A
4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )
A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直
.
.
解析：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．
答案：C
5.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是( )
A．1 C．3
B．2 D．4
解析：
PA⊥平面ABC??
??
?BC?平面ABC?
??
AC⊥BC?? PA∩AC＝A??
PA⊥BCBC⊥平面PAC?BC⊥PC，
所以直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC. 答案：D 二、填空题
6．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的____________________
(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”)．
解析：P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心．
答案：外心
7．已知正三棱锥S-ABC的所有棱长都相等，则SA与平面ABC所成角的余弦值为________．
解析：因为S-ABC为正三棱锥，所以设点S在底面ABC上的射影为△ABC的中心O，连接SO，AO，如图所示，23
则∠SAO为SA与底面ABC所成的角，设三棱锥的棱长为a，在Rt△SOA中，AO＝·asin 60°＝a，SA＝a，
33
所以cos∠SAO＝＝答案：
.
AOSA3. 3
3 3
.
8．如图所示，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．
解析：因为EA⊥α，CD?α，
根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA. 同样，因为EB⊥β，CD?β，则有EB⊥CD. 又EA∩EB＝E， 所以CD⊥平面AEB.
又因为AB?平面AEB，所以CD⊥AB. 答案：CD⊥AB 三、解答题
9．如图所示，在正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，求直线CE与底面BCD所成的角的正弦值．
23解：设正四面体ABCD的棱长为1，如图，作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O是△BCD的中心，故OD＝×
32＝3. 3
取OD的中点G，连接EG，
因为EG∩OD＝G，则EG⊥平面BCD.连接CG，于是∠ECG就是直线CE与底面BCD所成的角． 11122
因为EG＝AO＝AD－DO＝×
222
6
632
63?3?2
1－??＝，又CE＝，
62?3?
2
所以sin∠ECG＝＝EGEC＝
2. 3
所以直线CE与底面BCD所成的角的正弦值为
2. 3
10．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BE⊥平面ACE.求证： AE⊥BE.
.
.
证明：因为AD⊥平面ABE，AD∥BC， 所以BC⊥平面ABE.
又AE?平面ABE，所以AE⊥BC.
因为BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，所以AE⊥BF. 又因为BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC＝B， 所以AE⊥平面BCE.
又BE?平面BCE，所以AE⊥BE.
B级 能力提升
1．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( ) A．有且只有一个 C．有一个或无数个
B．至多一个 D．不存在
解析：若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在． 答案：B
2．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中点，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．
解析：如图所示，取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥面BB1C1C.
所以AE⊥DE，因此AD与平面BB1C1C所成角即为∠ADE， 设AB＝a，则AE＝
3aa，DE＝， 22
有tan∠ADE＝3，所以∠ADE＝60°. 答案：60°
3．(2016·全国卷Ⅱ改编)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，
CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置， OD′＝10.
证明：D′H⊥平面ABCD.
5
4
.
.
证明：由已知得AC⊥BD，AD＝ CD， 又由AE＝CF，得＝AECF，故AC∥EF.
ADCD因为EF⊥HD，从而EF⊥D′H.
由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB－AO＝4. 由EF∥AC得＝
2
2
OHAE1
＝，
DOAD4
所以OH＝1，D′H＝DH＝3，
于是D′H＋OH＝3＋1＝10＝D′O，故D′H⊥OH. 又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，所以D′H⊥平面ABCD.
2
2
2
2
2
.