发布时间 : 星期一 文章2019 - 2020学年高中数学课时分层作业2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用含解析新人教a版选修2 - 3更新完毕开始阅读0cfab7d62ec58bd63186bceb19e8b8f67c1ceff6
课时分层作业(二) 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应
用
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的两位数的个数是( ) A．25 C．16
B．20 D．12
C [分两步：先选十位，再选个位，可组成无重复数字的两位数的个数为4×4＝16.] 2．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有( )
A．6种 C．8种
B．7种 D．9种
D [可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3＝6种；若选派2名女生，则有3种．由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法．]
3．由数字1,2,3,4组成的三位数中，各位数字按严格递增(如“134”)或严格递减(如“421”)顺序排列的数的个数是( )
A．4 C．16
B．8 D．24
B [由题意分析知，严格递增的三位数只要从4个数中任取3个，共有4种取法；同理严格递减的三位数也有4个，所以符合条件的数的个数为4＋4＝8.]
4．从1,2,3,4,5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为( ) A．2 C．6
B．4 D．8
D [第一类，公差大于0，有①1,2,3，②2,3,4，③3,4,5，④1,3,5，共4个等差数列；第二类，公差小于0，也有4个．
根据分类加法计数原理可知，共有4＋4＝8个不同的等差数列．]
5．(a1＋a2＋a3＋a4)·(b1＋b2)·(c1＋c2＋c3)展开后共有不同的项数为( ) A．9 C．18
B．12 D．24
D [由分步乘法计数原理得共有不同的项数为4×2×3＝24.故选D.] 二、填空题
6．小张正在玩“一款种菜的”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝
卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有________种．
48 [当第一块地种茄子时，有4×3×2＝24种不同的种法；当第一块地种辣椒时，有4×3×2＝24种不同的种法，故共有48种不同的种植方案．]
7．如图所示，从点A沿圆或三角形的边运动到点C，则不同的走法有________种．
6 [由A直接到C有2种不同的走法，由A经点B到C有2×2＝4种不同的走法．因此由分类加法计数原理共有2＋4＝6种不同走法．]
8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种．
20 [分三类：若甲在周一，则乙丙有4×3＝12种排法； 若甲在周二，则乙丙有3×2＝6种排法； 若甲在周三，则乙丙有2×1＝2种排法． 所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20种．] 三、解答题
9．用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个． (1)三位整数？
(2)无重复数字的三位整数？
(3)小于500的无重复数字的三位整数？
[解] 由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑．
(1)百位的数字有9种选择，十位和个位的数字都各有10种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有9×10×10＝900个．
(2)由于数字不可重复，可知百位的数字有9种选择，十位的数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有9×9×8＝648个．
(3)百位只有4种选择，十位可有9种选择，个位数字有8种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有4×9×8＝288个.
10．有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？
[解] 法一：第一步：种植A试验田有4种方法； 第二步：种植B试验田有3种方法；
第三步：若C试验田种植的作物与B试验田相同，则D试验田有3种方法，此时有1×3＝3种种植方法．
若C试验田种植的作物与B试验田不同，则C试验田有2种种植方法，D试验田也有2种种植方法，共有2×2＝4种种植方法．由分类加法计数原理知，有3＋4＝7种种植方法．
第四步：由分步乘法计数原理有N＝4×3×7＝84种不同的种植方法．
法二：(1)若A、D种植同种作物，则A、D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C也有3种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×3＝36种种植方法．
(2)若A、D种植不同作物，则A有4种种植方法，D有3种种植方法，B有2种种植方法，
C有2种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×2×2＝48种种植方法．综上所述，由
分类加法计数原理，共有N＝36＋48＝84种种植方法.
[能力提升练]
1．一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，
B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有( )
A．6种 C．12种
B．8种 D．48种
D [每个景区都有2条线路，所以游览第一个景点有6种选法，游览第二个景点有4种选法，游览第三个景点有2种选法，故共有6×4×2＝48种不同的游览线路．]
2．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有( )
A．24种 C．12种
B．18种 D．6种
B [法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2×1＝6种不同的种植方法．故共有6×3＝18种不同的种植方法．
法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不
种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有24－6＝18种不同的种植方法．]
3．如图，用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有________种．
180 [由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，所以共有5×4×3×3＝180(种)不同的涂色方案．]
4．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)
14 [法一：数字2只出现一次的四位数有4个；数字2出现两次的四位数有6个；数字2出现三次的四位数有4个．故总共有4＋6＋4＝14(个)．
法二：由数字2,3组成的四位数共有2＝16个．其中没有数字2的四位数只有1个，没有数字3的四位数也只有1个，故符合条件的四位数共有16－2＝14(个)．]
5．用1,2,3,4四个数字可重复的排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}．
(1)写出这个数列的前11项； (2)若an＝341，求项数n.
[解] (1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133； (2)比an＝341小的数有两类： ①首位是1或2：
4
②首位是3：
故共有：2×4×4＋1×3×4＝44(项)．因此an＝341是该数列的第45项，即n＝45.