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高斯函数_常见题型
一、常见题型与相关例题 1、 整数问题
?12??22??19872?例1、 在项数为1987的数列??,?1987?,???,?1987?中有多少个不同的整数？
1987??????2、 方程问题
方程问题主要有解方程与讨论方程的根两种题型。 例2、 解方程3x3?[x]?3。
例3、 证明方程[x]?[2x]?[22x]?[23x]?[24x]?[25x]?12345无实数解。 3、 恒等问题
这类问题主要是证明一些由[x]构成的恒等式。例如?????n(n?N). ??2??2?例4、（Hermite恒等式）若n是正整数，x?R，则
?n??n?1??k??x??[nx]. ???n?k?0?n?1例5、已知n?N?,求证：[n?n?1]?4n?1?[4n?2]?[4n?3] 4、 不等问题
不等问题主要涉及含[x]的不等式分析。此类问题一般难度较大。 例6、设x,y?R，试证：
[]x2[]?[]y[?]x[?y;]?x?y（1）、2[x3][?[]y[?]x[2?y]?x?y（2）、3]注：与上面不等式相类似地还有
.
[]x4[]?[]y[?]x2[?y]?2[x?.y]?y?x（3）、4[x5][?[]y[?]3x[?y]?3[x?.]y?y?x（4）、5]例7、设x?R,n?N,试证：n[x]??
[kx]?[nx]. ?k?1kn例8、证明不等式[立。
?]?[???]?[?]?[2?]?[2?]对任意不小于1的实数?,?
例9、求所有正整数n使得min(k??2?)?1991.
k?N??k?2?n?5、 求值问题
例10、若实数x满足[x?192091]?[x?]?????[x?]?546,求[100x]的值。 100100100例11、计算和式6、 格点问题
?[n?110023n]的值。 101平面区域内的格点计数问题，往往与[x]有关，而且通过格点计数，还可以证明一些恒等式。
例12、设n?N,n?2,求证：
??[k?2nkn]??[logkn].
k?2nx证明：构造平面区域D={(x,y)y?n,x?2,y?2},并考虑D中整点的个数：
（1） 如果一列一列的数，x=2时有[n]个，x?3时有[3n]个，…，x?n时有[nn]个，
故共有
?[k?2nkn]个。
（2） 如果一行一行的数，y?2时有[log2n]个，y?3时有[log3n]个，…，y?n时有
[lognn]个，故共有?[logkn]个。
k?2n综合（1）、（2），问题获证。
一般地，设函数y?f(x)在[a,b]上连续且非负，则表示平面区域a?x?b,0?y?f(x)的格点数。
特别地，有
（ⅰ）位于三角形：y?ax?b?0,c?x?d内的格点个数等于数）。
0?x?da?t?b?[f(t)]（t为[a,b]内的整数）
?[ax?b]（x为整
]（ⅱ）设p,q为正奇数，(p,q)?1,矩形域(0,?q2p(0,内]的格点数等于2pqp?1q?1[x]?[y]??。 ?qq?pp220?x?0?y?22r?0,圆域x?y?r内的格点个数等于1?4[r]?8（ⅲ）
222?0?x?[r2?x2]?4[r2r2 ]。2（ⅳ）n?0,区域：x?0,y?0,xy?n内的格点个数等于2n[?x]?[n]2。 0?x?n对于以上结论，可通过画示意图来证明。 例如，位于由直线y?21x??0和0?x?10围成的三角形内的格点个数等于 323?x?104?[2x1212121?]?[?1?]?[?2?]?????[?10?]?0?0?1?2?2?3?4?4?5?6?2732323232
高斯函数在数列和数论中也有极为广泛的应用，在数列和数论部分可以再得到补充。 二、练习 1、计算和式
?[n?0502305n]的值。 503x12.5]?[?](0?x?10)的值域。 12.5x2x?72x?1]? 3、解方程[。 34 2、求函数f(x)?[x?2k 4、试证对任意实数x，有?[k?1]?[x]。
2k?0? 5、求方程[]?[x1!xx]?????[]?1001的整数解。 2!10! 6、设??1?5,???2,证明：对一切n?N*,都有[?[?n]]?[?n]?[?n]。 21212 7、求所有的实数?，使得[n???]?[n?]对一切正整数n都成立。 8、设xi?R(i?1,2,???,n).求证：?x?R使下列不等式成立： 9、若对任何整数n,a,b,c都满足[na]?[nb]?[nc]。 证明：a,b,c中至少有一个是整数。 10、证明：对任意正整数n都有{2n}?**N?{x?xk}?k?1nn?1。 21。 22n 11、证明???R,使得对?n?N,[?]与n的奇偶性相同，并给出一个如此的正实数。 12、在数列{an}中，a1是正整数，且an?1?[an?当n?2时有an?1(mod10)。
543an2?12]。试求出所有的a1使得4