发布时间 : 星期一 文章石家庄市2016-2017学年高一下学期期末数学试卷+Word版含解析(1)更新完毕开始阅读0d78e2bba0c7aa00b52acfc789eb172ded63992d
21.如图,要测量河对岸A、B两点之间的距离,选取相距km的C、D两点,并测得∠ACB=75°.∠BCD=∠ADB=45°,∠ADC=30°,请利用所测数据计算A、B之间的距离.
【考点】HU:解三角形的实际应用.
【分析】在△ACD中利用正弦定理计算AD,在△BCD中利用正弦定理计算BD,在△ABD中利用余弦定理计算AB.
【解答】解:在△ACD中,∠ACD=75°+45°=120°,∴∠CAD=30°, 由正弦定理得:
=
,解得AD=3,
在△BCD中,∠CDB=45°+30°=75°,∴∠CBD=60°, 由正弦定理得:
=
,解得BD=
,
在△ABD中,由余弦定理得AB==
.
22.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,E为PD的中点. (1)求证:PB∥平面AEC;
(2)若PA⊥平面ABCD,PA=AD,求证:平面AEC⊥平面PCD.
【考点】LY:平面与平面垂直的判定;LS:直线与平面平行的判定.
【分析】(1)连接BD交AC于O点,连接EO,只要证明EO∥PB,即可证明PB∥平面
AEC;
(2)要证平面PDC⊥平面AEC,需要证明CD⊥AE,AE⊥PD,即垂直平面AEC内的两条相交直线.
【解答】证明:(1)连接BD交AC于O点,连接EO,
∵O为BD中点,E为PD中点, ∴EO∥PB,
又EO?平面AEC,PB?平面AEC, ∴PB∥平面AEC.
(2)∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD, ∴PA⊥CD,
又AD⊥CD,且AD∩PA=A,
∴CD⊥平面PAD,又AE?平面PAD, ∴CD⊥AE.
∵PA=AD,E为PD中点,
∴AE⊥PD. 又CD∩PD=D, ∴AE⊥平面PDC, 又AE?平面PAD, ∴平面PDC⊥平面AEC.
23.已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且csinA=
acosC.
(1)求角C的大小;
(2)若c=2,求△ABC的面积的最大值. 【考点】HP:正弦定理.
【分析】(1)利用正弦定理化简已知等式,可得sinC=cosC,结合C是三角形的内角,
得出C=60°;
(2)由已知及余弦定理,基本不等式可求ab≤4,进而利用三角形面积公式即可得解. 【解答】(本题满分为12分) 解:(1)∵csinA=
acosC,
∴由正弦定理,得sinCsinA=sinAcosC
结合sinA>0,可得sinC=cosC,得tanC=
∵C是三角形的内角, ∴C=60°;
(2)∵c=2,C=60°,
∴由余弦定理可得:4=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab,当且仅当a=b时等号成立, ∴S△ABC=absinC≤=
,当且仅当a=b时等号成立,即△ABC的面积的最大值
为.
24.已知函数g(x)=x2+bx+c,且关于x的不等式g(x)<0的解集为(﹣,0). (1)求实数b,c的值;
(2)若不等式0≤g(x)﹣<对于任意n∈N*恒成立,求满足条件的实数x
的值.
【考点】3R:函数恒成立问题.
【分析】(1)由题意可得0和﹣为方程x2+bx+c=0的两根,运用韦达定理可得b,c的值;
(2)由题意可得
≤x2+x,且>x2+x﹣对于任意n∈N*恒成立,将
分子常数化,由对勾函数的单调性,可得它的范围,由恒成立思想可得x2+x
﹣=0,解方程即可得到所求x的值.
【解答】解:(1)函数g(x)=x2+bx+c,且关于x的不等式g(x)<0的解集为(﹣,0).
可得0和﹣为方程x2+bx+c=0的两根, 可得0﹣=﹣b,0×(﹣)=c, 即有b=,c=0; (2)不等式0≤g(x)﹣
<对于任意n∈N*恒成立,
即为
≤x2+x,且
>x2+x﹣对于任意n∈N*恒成立,
由
=
=
, 由n∈N*,可得2n≥2,2n+
≥2+=,
可得0<
≤,
则≤x2+x,且x2+x﹣≤0, 即为x2+x﹣=0, 解得x=﹣1或.
附加题(共1小题,满分10分)
25.已知圆C的圆心在直线4x+y=0上,且与直线x+y﹣1=0相切于点P(3,﹣2). (1)求圆C的方程;
(2)过圆内一点P(2,﹣3)的直线l与圆交于A、B两点,求弦长AB的最小值. 【考点】J8:直线与圆相交的性质.
【分析】(1)过切点且与l:x+y﹣1=0垂直的直线为y=x﹣5,与y=﹣4x联立可求得圆心,再由两点间的距离公式求得半径r,即求得圆的方程.
(2)当CP⊥AB,即P为AB中点时,弦长AB最小,即可得弦长AB的最小值. 【解答】解:(1)过切点且与l:x+y﹣1=0垂直的直线为y=x﹣5,与y=﹣4x联立可求得圆心为C(1,﹣4), ∴r=
=2
∴所求圆的方程为(x﹣1)2+(y+4)2=8;
(2)当CP⊥AB,即P为AB中点时,弦长AB最小 CP=
弦长AB的最小值为2
.
.
2017年8月11日