发布时间 : 星期六 文章銆愪汉鏁欑増銆?020楂樿�冩暟瀛︿簩杞涔?涓撻涓� 涓夎鍑芥暟涓庡钩闈㈠悜閲?绗?璁?涓夎鎭掔瓑鍙樻崲涓庤В涓夎褰㈠妗?- 鐧惧害鏂囧簱更新完毕开始阅读0d8a2b42f5ec4afe04a1b0717fd5360cba1a8d0c
※ -精 品 人 教 试 卷- ※
第2讲 三角恒等变换与解三角形
[考情考向分析] 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．
热点一 三角恒等变换
π?4??π?例1 (1)若cos?α＋?＝，则cos?－2α?＝________. 3?5??3?7
答案 －
25
π?4?解析 ∵cos?α＋?＝， 3?5?
π??π??π???π?4
∴cos?α＋?＝sin?－?α＋??＝sin?－α?＝，
3??3???6?5?2?
?π
∴cos?－2α
?3?＝1－2sin2?π－α??6???＝－7. ?25?
π
(2)在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作角α，角α＋的终边经过点P(－2,1)．
4①求cos α的值； ②求cos?
?5π－2α?的值．
?
?6?
π
解 ①由于角α＋的终边经过点P(－2,1)，
4π?π?255??故cos?α＋?＝－，sin?α＋?＝， 4?4?55??ππ??∴cos α＝cos?α＋－?
44??
π?π?ππ10??＝cos?α＋?cos ＋sin?α＋?sin ＝－. 4?4?4410??ππ??②sin α＝sin?α＋－?
44??
π?π?ππ310??＝sin?α＋?cos －cos?α＋?sin ＝，
4?4?4410??
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3
则sin 2α＝2sin αcos α＝－，
5422
cos 2α＝cosα－sinα＝－，
5cos?
?5π－2α?＝cos 5πcos 2α＋sin 5πsin 2α＝43－3.
?6610?6?
思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况． (2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 跟踪演练1 (1)已知cos?答案 23－4
7π??π??解析 ∵cos?＋α?＝3sin?α＋?，
6??2??π??∴－sin α＝－3sin?α＋?，
6??
π?ππ?∴sin α＝3sin?α＋?＝3sin αcos ＋3cos αsin 6?66?＝
333
sin α＋cos α， 22
，
2－33
tan
3
?π＋α?＝3sin?α＋7π?，则tan?π＋α?＝________.
????12?6??2????
∴tan α＝
ππ－tan 34π?ππ?又tan ＝tan?－?＝
12ππ?34?
1＋tan tan
34＝
3－1
＝2－3， 1＋3
tan
π
＋tan α12π??∴tan?＋α?＝ π?12?
1－tan tan α
12
2－33
＝＝23－4.
3
1－(2－3)×
2－33
(2)(2018·江苏如东中学等五校联考)已知α∈?
(2－3)＋
3
?π，5π?，且cos?α－π?＝3，则sin α的值是________．
?6?3??3???5
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※ -精 品 人 教 试 卷- ※ 答案 4＋33 10π?π??π5π?解析 ∵α∈?，?，∴α－∈?0，?，
6?2?3??3给合同角三角函数基本关系式有： π??sin?α－?＝
3??
π?42?1－cos?α－?＝，
3?5?
ππ??则sin α＝sin?α－＋?
33??
π?π?ππ??＝sin?α－?cos ＋cos?α－?sin
3?3?33??41334＋33
＝×＋×＝. 525210热点二 正弦定理、余弦定理
例2 (2018·江苏泰州中学调研)如图，在圆内接△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acos C＋
ccos A＝2bcos B.
(1)求B的大小；
(2)若点D是劣弧AC上一点，AB＝3，BC＝2，AD＝1，求四边形ABCD的面积． 解 (1)方法一 设外接圆的半径为R，则a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， 代入得2Rsin Acos C＋2Rsin Ccos A＝2×2Rsin Bcos B， 即sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos B， 所以sin B＝2sin Bcos B. 1所以sin B≠0，所以cos B＝. 2又B是三角形的内角， π
所以B＝.
3
a2＋b2－c2b2＋c2－a2
方法二 根据余弦定理，得a·＋c·＝2b·cos B，
2ab2bc1
化简得cos B＝. 2π
因为0 3 (2)在△ABC中，AC＝AB＋BC－2AB·BCcos∠ABC ※- 推- 荐 ※ 下- 载- ※ .. 2 2 2 ※ -精 品 人 教 试 卷- ※ 1 ＝9＋4－2×3×2×＝7， 2所以AC＝7. 2π 因为A，B，C，D四点共圆，所以∠ADC＝. 3在△ACD中，AC＝AD＋CD－2AD·CDcos∠ADC， 2 2 2 ?1?2 代入得7＝1＋CD－2·CD·?－?， ?2? 所以CD＋CD－6＝0，解得CD＝2或CD＝－3(舍)． 所以SABCD＝S△ABC＋S△ACD 11 ＝AB·BCsin∠ABC＋AD·CDsin∠ADC 221313 ＝×3×2×＋×1×2×＝23. 2222 思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口． cos Acos B23sin C跟踪演练2 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝. ab3a(1)求角B的大小； (2)已知 2 asin C＝4，△ABC的面积为63，求边长b的值． sin A23 解 (1)由已知得bcos A＋acos B＝bsin C， 3 23 由正弦定理得sin Bcos A＋cos Bsin A＝sin Bsin C， 323 ∴sin(A＋B)＝sin Bsin C， 3又在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C≠0， ∴sin B＝ 3ππ，∵0 (2)由已知及正弦定理得c＝4， π1 又 S△ABC＝63，B＝，∴acsin B＝63，得a＝6， 32由余弦定理b＝a＋c－2accos B， 得 b＝27. 热点三 解三角形与三角函数的综合问题 例3 (2018·江苏三校联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－c＝2b，且sin Acos C ※- 推- 荐 ※ 下- 载- ※ .. 2 2 2 2 2