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第十章 弹性力学空间问题
知识点
空间柱坐标系
空间轴对称问题的基本方程 空间球对称问题的基本方程 布西内斯科解
分布载荷作用区域外的沉陷 弹性球体变形分析 热应力的弹性力学分析方法 坝体热应力
质点的运动速度与瞬时应力 膨胀波与畸变波
一、内容介绍
对于弹性力学空间问题以及一些专门问题，其求解是相当复杂的。 本章的主要任务是介绍弹性力学的一些专题问题。通过学习，一方面探讨弹性力学空间问题求解的方法，这对于引导大家今后解决某些复杂的空间问题，将会有所帮助。另一方面，介绍的弹性力学专题均为目前工程上普遍应用的一些基本问题，这些专题的讨论有助于其它课程基本问题的学习，例如土建工程的地基基础沉陷、机械工程的齿轮接触应力等。
本章首先介绍空间极坐标和球坐标问题的基本方程。然后讨论布希涅斯克问题，就是半无限空间作用集中力的应力和沉陷。通过布希涅斯克问题的求解，进一步推导半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷、以及弹性接触问题。
另一方面，本章将介绍弹性波、热应力等问题的基本概念。 二、重点
1、空间极坐标和球坐标问题；2、布希涅斯克问题；3、半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷；弹性接触问题；4、弹性波；5、热应力。
柱坐标基本方程 球坐标的基本方程 位移表示的平衡微分方程 乐普位移函数 载荷作用区域内的沉陷 球体接触压力分析 受热厚壁管道 弹性应力波及波动方程 应力波的相向运动
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§10.1 柱坐标表示的弹性力学基本方程
学习思路:
对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关。但是，对于某些问题，特别是空间问题，不同的坐标系对于问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。某些坐标系可以使得一些特殊问题的边界条件描述简化。因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。
例如对于弹性力学的轴对称或者球对称问题，如果应用直角坐标问题可能得不到解答，而分别采用柱坐标和球坐标求解将更为方便。
本节讨论有关空间柱坐标形式的基本方程。特别是关于空间轴对称问题的基本方程。 学习要点：
1、空间柱坐标系；2、柱坐标基本方程；3、空间轴对称问题的基本方程。 1、空间柱坐标系
在直角坐标系下，空间任意一点M的位置是用3个坐标（x，y，z）表示的，而在柱坐标系下，空间一点M 的位置坐标用（?，?，z）表示。 直角坐标与柱坐标的关系为：x =? cos ? ， y =? sin ??， z = z 柱坐标下的位移分量为： u?， u??，?w
柱坐标下的应力分量为： ??， ???，?z，???，???z，?z? 柱坐标下的应变分量为： ??， ???，?z，???，???z，?z? 以下讨论柱坐标系的弹性力学基本方程。
2、柱坐标基本方程
2
1、平衡微分方程
2、几何方程
3、物理方程
其中
3、空间轴对称问题的基本方程
对于轴对称问题，即物体的几何形状，边界条件和约束条件等外界因素均对称于某一坐标轴，例如 z 轴时，则根据变形的对称性，有
根据几何方程，则 ，而根据本构方程，则 。其余应变分量和应力分量仅是坐标? ,z的函数，而与坐标??无关。因此，基本方程可以简化为 1、平衡微分方程
3
2、几何方程
3、本构方程
§10.2 球坐标表示的弹性力学基本方程
学习思路:
对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关，但是坐标系的选择与问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。
对于球体、特别是球对称问题，采用球坐标求解将更为方便。这些问题如果应用直角坐标问题可能得不到解答。
本节讨论空间球坐标系的基本方程表达形式。对于空间球对称问题的基本方程表达形式作专门的探讨。 学习要点：
1、球坐标的基本方程；2、空间球对称问题的基本方程
1、球坐标的基本方程
在球坐标系下，空间一点M的位置是用3个坐标（R，?，?）表示。直角坐标与球坐标的关系为
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