发布时间 : 星期四 文章2019届河南省开封市高三第三次模拟数学(理)试题(解析版)更新完毕开始阅读0de508c6bf23482fb4daa58da0116c175f0e1e8b
立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题, 主要体现在以下几个方面：
① 求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；
② 求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角； ③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.多用空间向量解决.
19．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
（I）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）： ①②③
； ； .
判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.
（Ⅱ）将直径尺寸在
之外的零件认定为是“次品”.
；
①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望
.
【答案】（I）丙级；（Ⅱ）①；②.
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【解析】（I）以频率值作为概率计算出相应概率，再利用判定规则的三个式子得出判断设备的性能等级。
（Ⅱ）先根据题意将次品件数求出。①根据题意知，这种抽取实验是服从二项分布的，根据二项分布的期望公式可求出种取值的概率，进而求出【详解】 （I）
，
，
，
，
，
，
。
。②根据古典概型求概率的公式，可以求出的每
由图表知，，
，
，
所以该设备的级别为丙级.
（Ⅱ）①从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率是，
依题意，～，故.
②从100件样品中任取2件，次品数的可能取值为0，1，2，
，，，
故【点睛】
.
对于（Ⅱ）问题①是二项分布（次独立重复试验中，事件A发生的次数 ，
其期望为）利用公式得出。
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20．已知椭圆 ，四点，，，
中恰有三点在椭圆上.
（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过的右焦点作斜率为的直线与交于，两点，直线为线段
的中点，过点作直线
与轴交于点，
于点.证明：，，三点共线.
【答案】（I）；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】（I）根据椭圆的对称性，得到，在椭圆上，不在椭圆上，将点，
代入椭圆的方程，联立得到，，即可求出椭圆方程。
（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程，由于为线段的中点、直线
于点，所以点、点，分别得到、的表达式，然后相减检
验是否为0，若为0，即三点共线。 【详解】
（I）根据椭圆对称性，必过，，又，不在上，
∴ ∴ ，，∴椭圆的方程为.
（Ⅱ），设直线的方程为，
，
代入椭圆方程，得
设，，则，，
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易知，，，，
，
∴【点睛】
，∴，，三点共线.
判断三点共线一般采用向量共线法、斜率相等法，本题是斜率相等法：从，，三点中找到两条直线21．已知函数（I）当（Ⅱ）设
与
，证明他们的斜率相等，从而得到三点共线。 ，
，（常数
）.
的图象相切时，求的值；
，讨论
在
上零点的个数.
【答案】（I）；（Ⅱ）当时，在上没有零点；时，在
上只有一个零点；时，在上有两个零点.
【解析】（I）设出切点的坐标，利用导数的几何意义求出过点A 的斜率，
写出切线的点斜式方程，结合待定系数法，即可求出的值。 （Ⅱ）将
变形得到
， 当
时，
，
没
有零点；当时，在单调递减，在单调递增.有最小值 ，
对进行讨论得出在上零点的个数。
【详解】 （I）设切点为
所以过点的切线方程为
，
，
，即
，
所以，解得：.
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