发布时间 : 星期三 文章例谈数列中的数学思想更新完毕开始阅读0e34bba3f46527d3250ce0aa
f(x1)?f(x2)?...?f(xn)x?x?...?xn?f(12)
nn可知7a5?5a9?0即12a7?5?5?9?0
12所以a20?0，又a6?0,a7?0得n?6
3111??...?(n?N*)，定义f(n)?S2n?1?Sn?1，试确定m的取值范围，使得23n112[logm?1m]2恒成立。 对于大于1的自然数n，不等式f(n)?[logm(m?1)]?201111??...??解：构造关于n的函数f(n)? n?2n?32n2n?1112[logm?1m]2恒成立，只需 若f(n)?[logm(m?1)]?2011f(n)min?[logm(m?1)]2?[logm?1m]2即可
20例13、已知Sn?1?而易证f(n?1)?f(n)?0即f(n)是增函数 所以f(n)min?f(2)?9 20从而
9111?5?[logm(m?1)]2?[logm?1m]2解之得：?m?2或m?2 20202评注:不等式恒成立的常见问题是
f(x)?a恒成立?f(x)min?a，
f(x)?a恒成立?f(x)max?a，f(x)?g(x)恒成立?F(x)=[f(x)-g(x)]min?0
或f(x)?g(x)恒成立?f(x)min?g(x)max，可见解不等式恒成立问题的关键是求函数的最值。
例14：已知数列
?an?的通项an?n?98n?99，比较10a、a11的大小。
通常做法是先求出10a、a11，然后作商与1比较或作差判断符号。但无论作商还是作差，都不好做。
n?98n?99看成是关于正整数集的函数，如果能判断该
这时正是渗透数学思想方法的良好契机，将an?函数的增减性，则可判断10由an?a、a11的大小。
n?98n?99?98?9999?98??1?知，当n≥10
n?99n?99n?99n∈N+ 时，数列
?an?为递减数列，所以a10＞a11.
函数思想在数列中的运用不是学生容易想到的，学生往往对运用函数思想解决问题有一种可遇不可求的感觉，正是这种感觉说明学生的知识结构在函数应用方面的欠缺，问题的关键在于转化意识。由数列情
景转变为函数情景，是运用函数思想解决问题的意识在起作用。
3、分类讨论思想在数列中的运用
分类讨论思想是根据问题的实际需要按一定标准将所研究的对象分成若干种不同的情况，把复杂的问题分解成若干个小问题，并将若干个小问题逐一解决。分类讨论使问题变得简单、清晰、明朗。
例15：设等比数列
?an?证明：设等比数列
?an?的公比为q。
，
?1??的前n项的和为Sn，而数列 ??an?的前n项的和为Tn，求证：Sn=1nTn.
aa1∵
an?1an1??1an?1qan?1?1?是首项为∴数列?aa1?n?1，公比为的等比数列。
qn。 a1（1）当q=1时，Sn=na1, Tn?∴a1anTn?a1a1?n?na1?Sn a1a1(1?qn)（2）当q≠1时，Sn?，
1?q11(1?n)a1q11?qnTn???n?1， 11?qaq11?q11?qna1(1?qn)????Sn。 ∴a1anTn?a1?a1qn?11?q1?qa1q由(1) (2)，所以Sn?a1anTn。
n?1例16.（05’19）设等比数列?an?的公比为q，前n项和Sn?0 (n?1,2,?)。 （Ⅰ）求q的取值范围； （Ⅱ）设bn?an?2?
解:设等比数列?an?的公比为q，前n项和Sn?0 (n?1,2,?)。 （Ⅰ）求q的取值范围； （Ⅱ）设bn?an?2?3an?1，记?bn?的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小。 23an?1，记?bn?的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小。 2
解：（Ⅰ）因为{an}是等比数列，Sn?0,可得a1?S1?0,q?0.
当q?1时,Sn?na1?0;
a1(1?qn)1?qn当q?1时,Sn??0,即?0,(n?1,2,?)
1?q1?q?1?q?0,上式等价于不等式组：?,(n?1,2,?) ① n?1?q?0?1?q?0,,(n?1,2,?) ② 或?n?1?q?0解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1 333an?1得bn?an(q2?q),Tn?(q2?q)Sn. 22231于是Tn?Sn?Sn(q2?q?1)?Sn(q?)(q?2). 22又∵Sn>0且－1 1当?1?q??或q?2时Tn?Sn?0即Tn?Sn 21当??q?2且q≠0时，Tn?Sn?0即Tn?Sn 21当q??或q=2时，Tn?Sn?0即Tn?Sn 2（Ⅱ）由bn?aa?2?分类讨论，前提是要讨论的对象有着多种不同的情况，这些不同的情况有的显露在算式之中，有的隐含在概念之内。在解决问题当中，必须概念清晰，必须对问题的本质有深刻的理解，才会想到需要分类讨论，才能准确确定要讨论的对象，并按情况需要正确地进行讨论。分类讨论思想是数学学科特点之一，在运用数学方法解决实际问题当中有着广泛的应用，分类讨论在中学教学中经常出现，具有自然而来，层次分明的特征。 4、整体思想在数列中的运用 整体思想是从问题的整体结构出发，实施整体变形、整体运算的思想。整体思想的灵活运用，通常是将问题从多元向一元简化，使问题的解决方式变得明朗、简洁。 例17：数列 ?an?为正项等比数列，它的前n项和为80，其中数值最大的项为54，前2n项的和为6560， ?2Sn，故q≠1。依题意，有 求此数列的首项n和公比q。 解：由已知有S2na?a1(1?qn)?80,?1??1?q?? 2n?a1(1?q)?6560,?2??1?q?2n?2?得,1?q?82 1?qn?1? ∴q=81. 由题意知q＞1，所以前n项中第n项最大，即an将q=81代入annn n ?54. ?a1qn?1，得54q?81a1. (3) 将q=81代入(1)得a1?q?1. (4) 联立(3)、（4），解得a1?2,q?3. 整体思想出现在问题解决当中，具有一气呵成、豁然开朗的特质，呈现结构明快、巧妙生成、简洁流畅的思维特征。整体思想的运用基于对问题的敏锐观察力，基于缜密的分析思考，往往在经过观察分析 过后迸发出的灵感。在问题解决中懂得运用整体思想，一般依赖于解题经验的积累，其运用场合是由多元问题转化为一元问题。 5、转化与化归思想在数列中的运用 转化与化归思想是将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题的一种数学思想方法。数列中有很多复杂的问题都可以通过转化与化归获得解决。 例18：已知数列?an?的前n项和为S，若an 1Sn?1?1,Sn?(n?2)，求an. 2Sn?1?1 。 解：由Sn?Sn?112Sn?1?11??2? ，得 2Sn?1?1SnSn?1Sn?111??2 即 SnSn?1?1??是首项为1，公差为2的等差数列。 ∴数列?S?n?1?1?2(n?1)?2n?1。 ∴ Sn11S?S?(n?2) ∴n，n?12n?12n?3?2a?S?S?(n?2) 则nnn?1(2n?1)(2n?3)?1(n?1),?即an?? ?2(n?2).?(2n?1)(2n?3)? 例19.（06江西）已知数列?an?满足:a1?求数列?an?的通项公式; 解：两边同时取倒数得： 3nan?13,且an?(n?2,n?N*). 22an?1?n?112n?1n1n?12，即?????(n?2) an3n3nan?1an3an?13