发布时间 : 星期日 文章2020届江苏高考数学二轮复习微专题：数列中常见的求和问题更新完毕开始阅读0e7f020d3369a45177232f60ddccda38376be117
微专题25 数列中常见的求和问题
真 题 感 悟
(2018·江苏卷)已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}.记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn>12an＋1成立的n的最小值为________.
解析 所有的正奇数和2n(n∈N*)按照从小到大的顺序排列构成{an}，在数列{an}中，25前面有16个正奇数，即a21＝25，a38＝26.当n＝1时，S1＝1<12a2＝24，不符合题意；当n＝2时，S2＝3<12a3＝36，不符合题意；当n＝3时，S3＝6<12a4＝48，不符合题意；当n＝4时，S4＝10<12a5＝60，不符合题意；…；当n＝2621×（1＋41）2×（1－25）时，S26＝＋＝441＋62＝503<12a27＝516，不符合题
21－222×（1＋43）2×（1－25）
意；当n＝27时，S27＝＋＝484＋62＝546>12a28＝
21－2540，符合题意.故使得Sn>12an＋1成立的n的最小值为27. 答案 27
考 点 整 合
数列求和
(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并. (2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列.
(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加
??c??
抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如?aa?(其中{an}是各项均不为
?nn＋1???
零的等差数列，c为常数)的数列.
热点一 分组转化法求和
【例1】 (2019·南京高三月考)已知等差数列{an}的首项a1＝2，前n项和为Sn，等比数列{bn}的首项b1＝1，且a2＝b3，S3＝6b2，n∈N*.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)数列{cn}满足cn＝bn＋(－1)nan，记数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn. 解 (1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q. ∵a1＝2，b1＝1，且a2＝b3，S3＝6b2， ?2＋d＝q2，??d＝2，∴?3（2＋2＋2d）解得?
q＝2.?＝6q.?2?
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n，bn＝2n－1.
(2)由题意：cn＝bn＋(－1)nan＝2n－1＋(－1)n2n.
∴Tn＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)＋[－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n]， ①若n为偶数，则
1－2n
Tn＝＋{(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n－1)＋2n]}
1－2n
＝2n－1＋2×2＝2n＋n－1. ②若n为奇数，则
1－2nTn＝＋{(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n－2)＋2(n－1)]－2n}
1－2n－1
＝2n－1＋2×2－2n＝2n－n－2. ?2n＋n－1，n为偶数，∴Tn＝?n
?2－n－2，n为奇数.
探究提高 1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想，把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个表达式.
2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组. 112
【训练1】 已知{an}是等比数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且a－a＝a，S6＝
1
2
3
63.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb2n}的前2n项和.
解 (1)设数列{an}的公比为q.
112
由已知，有a－aq＝aq2，解得q＝2或q＝－1.
1
1
1
1－q6
又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，
1－q1－26
所以a1·＝63，得a1＝1.
1－2所以an＝2n－1，n∈N*.
111
(2)由题意，得bn＝2(log2an＋log2an＋1)＝2(log22n－1＋log22n)＝n－2， 1
即{bn}是首项为2，公差为1的等差数列. 设数列{(－1)nb2n}的前n项和为Tn，则
22222T2n＝(－b21＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－b2n－1＋b2n)
2n（b1＋b2n）＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝
21??1
＝n?2＋2n－2?＝2n2. ??热点二 裂项相消法求和
【例2】 (2019·扬州期末)已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn1bn＝a2n＋an，数列{bn}满足b1＝，2bn＋1＝bn＋. 2a
n
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
bn＋2
(2)设数列{cn}满足cn＝S，求和c1＋c2＋…＋cn.
n解 (1)2Sn＝a2n＋an，① 2Sn＋1＝a2n＋1＋an＋1，②
2②－①得2an＋1＝a2n＋1－an＋an＋1－an，
即(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0.
因为{an}是正数数列，所以an＋1－an－1＝0， 即an＋1－an＝1.
2在2Sn＝an＋an中，令n＝1，得a1＝1，
所以{an}是以a1＝1为首项，公差为1的等差数列.