发布时间 : 星期一 文章湖南省永州市2020届高三第三次模拟考试数学(理)试题及详细解析更新完毕开始阅读0e8a9a6a1b2e453610661ed9ad51f01dc28157a4
所以△NMF为等边三角形，∠NFE＝60°，所以三角形边长为|NM|＝又OD是△FEN的中位线，
＝2|FE|＝4，
MD就是该等边三角形的高，
故答案为：2
．
，
【点评】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，属于中档题．
16．【分析】推导出AB⊥CD，GE∥CD，GF∥AB，从而GE⊥GF，得EF＝5．当四面体绕AB旋转时，由GF∥AB，即EF绕GF旋转，由此能求出EF与直线l所成角的范围． 【解答】解：∵在四面体ABCD中，CA＝CB，DA＝DB，AB＝6，CD＝8，
AB?平面α，l⊥平面α，E，F分别为线段AD，BC的中点，
∴AB⊥CD，又GE∥CD，GF∥AB，∴GE⊥GF，得EF＝5． 当四面体绕AB旋转时，由GF∥AB，即EF绕GF旋转， 故EF与直线l所成角的范围为[90°﹣∠GFE，90°]， ∴直线EF与直线l夹角的余弦值的取值范围是故答案为：[0，]．
．
【点评】本题考查两条异面直线所成角的余弦值的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：60分．
17．【分析】（1）设出等差数列的公差为d，且不为0，运用等比数列的中项性质和等差数列
的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式； （2）求得
算可得P2n，解不等式可得所求最小值．
【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{an}，由a3是a1与a9的等比中项，可得
，即a1（a1+8d）＝（a1+2d），
化为a1＝d，
又S3＝3a1+3d＝6，可得a1＝d＝1，
所以数列{an}是以1为首项和公差的等差数列， 故综上
（2）由（1）可知所以＝所以
故n的最小值为505．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的中项性质，同时考查利用裂项相消法求数列的和，考查运算能力，属于中档题．
18．【分析】（1）先证明四边形GFDE为平行四边形，可得GE∥DF，而GE⊥AC，则DF⊥AC，即得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD及平面ADE的法向量，利用向量公式求解即可． 【解答】解：（1）证明：取AC中点为G，连接GE和GF，因为GF∥BC，且又因为DE∥BC，且故GF∥DE，且GF＝DE，
即四边形GFDE为平行四边形，故GE∥DF， ∵CE＝AE，∴GE⊥AC， 又GE∥DF，则DF⊥AC；
（2）∵平面BCED⊥平面ABC，平面BCED∩平面ABC＝BC，DB⊥AC， ∴DB⊥平面ABC，
，
，
，
，
；
，
2
，再由数列的裂项相消求和，计
又AC在平面ABC内，∴DB⊥AC，
又DF⊥AC，BD∩DF＝D，BD，DF在平面ABC ∴AC⊥平面ABD，∴AC⊥AB， ∵AB＝AC＝2， ∴
，
取BC中点O连接OE和OA，四边形BCED为直角梯形，则OE∥DB， ∵DB⊥平面ABC，
∴OE⊥平面ABC，故OE⊥BC，OE⊥OA， ∵AB＝AC，OA⊥BC，
∴以OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴建立直角坐标系， ∵则
，
易知平面ABD的一个法向量为
，
，∴OE＝1，
，
故
设平面ADE的一个法向量为，则，故可取
，
设二面角B﹣AD﹣E的为θ，则，
∴二面角B﹣AD﹣E的正弦值为．
【点评】本题考查空间中线线，线面，面面间的基本位置关系，考查利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．
19．【分析】（1）由已知求得c，可得a＝b+1，再由已知求得点Q的坐标，代入椭圆方程得关于a，b的方程，联立求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k（x+1），与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合OABM为平行四边形，即
，可得M的坐标，
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分别代入椭圆与抛物线方程，得到关于k的方程，求解k无解，当直线斜率不存在时，易知存在点M（﹣2，0）在椭圆C上，可得不存在直线l，使点M落在抛物线D上，存在直线l，使点M（﹣2，0）落在椭圆C上．
【解答】解：（1）由题意知F（﹣1，0），因而c＝1，即a＝b+1，
又两曲线在第二象限内的交点Q（xQ，yQ）到F的距离是它到直线x＝﹣4的距离的一半，即4+xQ＝2（﹣xQ+1）， 得
，则
，代入到椭圆方程，得
．
2
2
由，解得a＝4，b＝3，
22
∴所求椭圆的方程为．
（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k（x+1），
由，得（3+4k）x+8kx+4k﹣12＝0，
2222
设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 则
，
，
由于OABM为平行四边形，得，
故，