发布时间 : 星期二 文章湖南省永州市2020届高三第三次模拟考试数学(理)试题及详细解析更新完毕开始阅读0e8a9a6a1b2e453610661ed9ad51f01dc28157a4
若点M在椭圆C上，则，代入得，解得k无解；
若点M在抛物线D上，则，代入得，解得k无解．
当直线斜率不存在时，易知存在点M（﹣2，0）在椭圆C上．
故不存在直线l，使点M落在抛物线D上，存在直线l，使点M（﹣2，0）落在椭圆C上． 【点评】本题考查求椭圆的标准方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
20．【分析】（1）X在[70，100）内，按组距为5可分成6个小区间，分别是[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），由70≤X＜100，由5n≤X＜5（n+1），
n∈N，能求出n的对值和k．
（2）（i）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，学生B的分数属于区间[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100）的概率分别是
，用符号Aij（或Bij）表示学生A（或B）在第一轮获
奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中j≤i（i，j＝1，2，3），记W＝“学生
*
B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”，由此能求出学生B最终获奖等级不低于
学生A的最终获奖等级的概率．
（ii） 学生A最终获得一等奖的概率是P（A21）＝是P（
）＝
，学生B最终获得一等奖的概率
，ξ的可能取值为0，1，2，分虽求出相应的
概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
【解答】解：（1）根据题意，X在[70，100）内，按组距为5可分成6个小区间， 分别是[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100）， ∵70≤X＜100，由5n≤X＜5（n+1），n∈N， ∴n＝14，15，16，17，18，19，
*
每个小区间对应的频率值分别是P＝5Y＝．
，解得k＝，
∴n的对值是14，15，16，17，18，19，k＝．
（2）（i）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，
由（1）知，学生B的分数属于区间[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100）的概率分别是：
，
我们用符号Aij（或Bij）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，
其中j≤i（i，j＝1，2，3），
记W＝“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”， 则P（W）＝P（B1+B21+B22A22+B32A22）
＝P（B1）+P（B21）+P（B22）P（A22）+P（B32）P（A22） ＝
+
＝
． ，
，
（ii） 学生A最终获得一等奖的概率是P（A21）＝学生B最终获得一等奖的概率是P（
）＝
，
，
，
P（ξ＝0）＝（1﹣P（ξ＝1）＝P（ξ＝2）＝
∴ξ的分布列为： ξ 0
1
2
）（1﹣）＝
P
Eξ＝＝．
【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．【分析】（1）由已知不等式先构造函数，然后结合导数与单调性的关系可求相应函数的单调性，进而可求．
（2）构造函数，对其求导，然后结合导数与单调性的关系及不等
式的恒成立与最值问题的相互转化可求． 【解答】解：（1）令
则φ'（x）＝x+m﹣ln（x+1）﹣1，
，
，
∴φ'（x）在[0，+∞）上单调递增，且φ'（0）＝m﹣1， 若m≥1，φ（x）在[0，+∞）上单调递增， ∴φ（x）≥φ（0）＝0， 即m≥1满足条件，
若m＜1，φ′（0）＝m﹣1＜0，φ（x）存在单调递减区间[0，x0]，又∵φ（0）＝0 所以存在x0使得φ（x0）＜0与已知条件矛盾，所以m≥1，m的最小值为1． （2）由（1）知令
，如果
，则必有f（x）≤g（x）成立．
，则h（x）＝（a﹣1）x﹣xcosx＝x（a﹣1﹣cosx），
h（x）＝x（a﹣1﹣cosx）≥0，则a﹣1﹣cosx≥0，a≥1+cosx，a≥2．
若h（x）≥0，必有f（x）≤g（x）恒成立，故当a≥2时，f（x）≤g（x）恒成立， 下面证明a＜2时，f（x）≤g（x）不恒成立．
令f1（x）＝f（x）﹣x＝（x+1）ln（x+1）﹣x，f′1（x）＝ln（x+1）， 当x＞0时，f′1（x）＝ln（x+1）＞0，f1（x）在区间[0，1]上单调递增， 故f1（x）≥f1（0）＝0，即f1（x）＝f（x）﹣x≥0，故x≤f（x）．
g（x）﹣f（x）≤g（x）﹣x＝
令
，
＞0，
＝，
所以t（x）在[0，1]上单调递增，t（0）＝a﹣2＜0，则一定存在区间（0，m）（其中0＜m＜1），当x∈（0，m）时，t（x）＜0，
则g（x）﹣f（x）≤xt（x）＜0，故f（x）≤g（x）不恒成立． 综上所述：实数a取值范围是[2，+∞）．
【点评】本题主要考查了不等式恒成立问题；还考查不等式放缩求参数取值范围问题的求解，属于中档试题．
（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题
计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形面积公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）曲线C的方程为x﹣2x+y＝0．转换为极坐标方程为：ρ＝2cosθ． 联立
，得M（0，0），
．
．
）．
．
2
2
（2）易知|MN|＝1，直线
设点P（2cosα，sinα），则点P到直线l的距离∴
∴△PMN面积的最大值为
．
（其中
【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]
23．【分析】第1问考查利用分类讨论思想解绝对值不等式； 第2问考查分段函数求最值、构造法和基本不等式等． 【解答】解：（1）当x＜0时，（1分）
当0＜x≤1时，f（x）＞当x＞1时，综上，x＜0或所以不等式分） 证明：（2）
，
等价于x﹣2x＞0，该不等式解集为?，……（2分） 等价于x+2x﹣2＞2，解得， 的解集为
． …………………（5
2
2
等价于x+2|x﹣1|＞﹣2，该不等式恒成立，……
2
，………（3分）
易得f（x）的最小值为1，即a+b+c＝M＝1……………………………（7分）