2020年好教育云平台泄露天机高考押题卷 理科数学(二)教师版 联系客服

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(2)∵VC?BQM?VP?BQM,?VM?BCQ?1VP?BCQ, 2由(1)可知:四边形BCDQ为矩形,∴S△BCQ?∵PA?PD,Q为AD的中点,∴PQ?AD,

1BQ?BC?3, 2∵平面PAD?平面ABCD,且平面PADI平面ABCD?AD, ∴PQ?平面ABCD,

在Rt△PDQ,PD?PQ?DQ,PQ?23, ∴VP?BQM?222111VP?BCQ???3?23?1. 223x2y220.(12分)已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的上顶点为A,以A为圆心,椭圆的长半

ab轴为半径的圆与y轴的交点分别为(0,3),(0,?1). (1)求椭圆C的标准方程;

(2)设不经过点A的直线l与椭圆C交于P,Q两点,且AP?AQ?0,试探究直线l是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.

uuuruuur3x2【答案】(1)(2)直线l过定点,该定点的坐标为(0,?). ?y2?1;

54【解析】(1)依题意知点A的坐标为(0,b),以点A圆心,以a为半径的圆的方程为

x2?(y?b)2?a2,

令x?0,得y?b?a,

由圆A与y轴的交点分别为(0,3),(0,?1),可得??b?a?3?a?2,解得?,

?b?a??1?b?1x2故所求椭圆C的标准方程为?y2?1.

4uuuruuuruuuruuur(2)由AP?AQ?0,得AP?AQ,可知PA的斜率存在且不为0.

设直线lPA:y?kx?1①,则lQA:y??1x?1②, k8k, 21?4k22将①代入椭圆方程并整理,得(1?4k)x?8kx?0,可得xP??8k1?4k2k2?4则yP?,同理,可得xQ?2,yQ?2,

k?41?4k2k?4k2?13由直线方程的两点式,得直线l的方程为y?x?,

5k5即直线l过定点,该定点的坐标为(0,?).

x21.(12分)已知函数f(x)?alnx?e?a(a?0).

35(1)求当a?1时,f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若关于x的不等式f(x)?0恒成立,求实数a的取值范围. 【答案】(1)(e?1)x?y?0;(2)(0,e).

【解析】(1)当a?1时,因为f(x)?alnx?e?a?lnx?e?1, 所以f?(x)?xx1x?e,所以f?(1)?1?e, x又f(1)?1?e,所以f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y?(1?e)?(1?e)(x?1), 即(e?1)x?y?0.

axa?xex(2)由(1)知f?(x)??e?(x?0),

xxxx令g(x)?a?xe,则g?(x)??(x?1)e?0,所以g(x)在(0,??)上单调递减.

由于g(0)?a?0,g(a)?a?ae?a(1?e)?0,

aax0x0x0则存在x0?(0,a),使得g(x0)?0,即a?x0e?0?x0e?a?e?a, x0又0?x?x0,g(x)?0,则f?(x)?0,所以f(x)在(0,x0)上单调递增;

x?x0,g(x)?0,则f?(x)?0,所以f(x)在(x0,??)上单调递减,

0所以在x?x0处有最大值f(x0)?alnx0?e?a?a(lnx0?x1?1), x0由f(x)?0恒成立,得f(x0)?0,即a(lnx0?11?1)?0,所以lnx0??1?0. x0x0令h(x)?lnx?111?1,则h?(x)??2?0,所以函数h(x)在(0,??)上单调递增. xxx由于h(1)?0,则h(x)?0,解得x?1,所以x0?1, 由a?x0e0在(0,1)上单调递增,所以0?a?e, 所以实数a的取值范围为(0,e).

请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:?x?x?4cos?(?为参数),将曲线C1上的所有点的横

?y?4sin?坐标缩短为原来的

13,纵坐标缩短为原来的后得到曲线C2,以坐标原点为极点,x轴

423πsin(??)3.

的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为??(1)求曲线C2的极坐标方程和直线l的直角坐标方程;

(2)设直线l与曲线C1交于不同的两点A,B,点M为抛物线y2??83x的焦点, 求MA?MB的值. 【答案】(1)C2:??212,l:3x?y?6?0;(2)4. 23?sin??x?4cos?22【解析】(1)将曲线C1:?(?为参数),消参得x?y?16,

?y?4sin?

??1x?x?2?x2y2经过伸缩变换?后得到曲线C2:??1,

43?y??3y??4化为极坐标方程为??212,

3?sin2?3πsin(??)3,化为直角坐标方程为3x?y?6?0.

将直线l的极坐标方程为??(2)由题意知M(?23,0)在直线l上,

1?x??23?t?2π?又直线l的倾斜角为,所以直线l的参数方程为?(t参数),

3?y?3t??2设A,B对应的参数分别为t1,t2,

将直线l的参数方程代入x?y?16中,得t2?23t?4?0. 因为M在C1内,所以Δ?0恒成立,

由韦达定理得t1?t2??4,所以MA?MB?t1?t2?4. 23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】 已知a?0,b?0,且a?b?1. (1)若ab?m恒成立,求m的取值范围; (2)若

2241??|2x?1|?|x?2|恒成立,求x的取值范围. ab1;(2)[?6,12]. 4a?b21)?, 24【答案】(1)m?【解析】(1)∵a?0,b?0,且a?b?1,∴ab?(当且仅当a?b?1时“?”成立, 2