发布时间 : 星期一 文章中国数学奥林匹克(CMO)试题和详细解答word版更新完毕开始阅读0ec4e675aff8941ea76e58fafab069dc5122471f
2009中国数学奥林匹克解答
一、给定锐角三角形PBC，PB?PC．设A，D分别是边PB，PC上的点，连接AC，BD，相交于点O. 过点O分别作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，线段BC，AD的中点分别为M，N．
（1）若A，B，C，D四点共圆，求证：EM?FN?EN?FM；
（2）若 EM?FN?EN?FM，是否一定有A，B，C，D四点共圆？证明你的结论． 解（1）设Q，R分别是OB，OC的中点，EQ，MQ，FR，MR，则
11EQ?OB?RM,MQ?OC?RF，
22P连接
又OQMR是平行四边形，所以
?OQM??ORM，
AEQNORDF由题设A，B，C，D四点共圆，所以
?ABD??ACD，
BMC于是 图1 ?EQO?2?ABD?2?ACD??FRO，
??OQM??FR?O?OR?M?所以 ?EQM??EQO， F 故 ?EQM??MR，
所以 EM＝FM， 同理可得 EN＝FN，
?FM所以 EM?FN?EN．
（2）答案是否定的．
当AD∥BC时，由于?B??C，所以A，B，C，D四点不共圆，但此时仍然有
EM?FN?EN?FM，证明如下：
如图2所示，设S，Q分别是OA，OB的中点，连接ES，EQ，MQ，NS，则
11NS?OD,EQ?OB，
22所以
NSOD?． ① EQOB
11又ES?OA,MQ?OC，所以
22ESOA． ② ?MQOC而AD∥BC，所以
OAOD?， ③ OCOB由①，②，③得
NSES． ?EQMQ因为 ?NSE??NSA??ASE??AOD?2?AOE，
?EQM??MQO??OQE???AOE??EOB??(180??2?EOB) ??AOE?(180???EOB)??AOD?2?AOE，
即 ?NSE??EQM， 所以 ?NSE～?EQM， 故
ENSEOA??（由②）． EMQMOCPFNOA?同理可得， ， FMOCENFN?所以 ， EMFM从而 EM?FN?EN?FM．
BAEQNSDFROMC
二、求所有的素数对（p，q），使得pq5p?5q．
解：若2|pq，不妨设p?2，则2q|52?5q，故q|5q?25．
由Fermat小定理， q|5q?5，得q|30，即q?2,3,5．易验证素数对(2,2)不合要求，(2,3)，(2,5)合乎要求．
若pq为奇数且5|pq，不妨设p?5，则5q|55?5q，故q|5q?1?625．
当q?5时素数对(5,5)合乎要求，当q?5时，由Fermat小定理有q|5q?1?1，故
q|626．由于q为奇素数，而626的奇素因子只有313，所以q?313．经检验素数对(5,313)合乎要求．
若p,q都不等于2和5，则有pq|5p?1?5q?1，故
5p?1?5q?1?0(modp)． ①
由Fermat小定理，得 5p?1?1(modp) ， ② 故由①，②得
5q?1??1(modp)． ③
设p?1?2k(2r?1)，q?1?2l(2s?1)， 其中k,l,r,s为正整数． 若k?l，则由②，③易知
1?12l?k(2s?1)?(5p?1)2l?k(2s?1)?52(2r?1)(2s?1)?(5q?1)2r?1?(?1)2r?1??1(modp)，
l这与p?2矛盾！所以k?l．
同理有k?l，矛盾！即此时不存在合乎要求的(p,q)． 综上所述，所有满足题目要求的素数对(p,q)为
(2,3)，(3,2)，(2,5)，(5,2)，(5,5)，(5,313)及(313,5)．
三、设m，n是给定的整数，4?m?n，A1A2?A2n?1是一个正2n+1边形，
P??A1,A2,?,A2n?1?．求顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数． 解 先证一个引理：顶点在P中的凸m边形至多有两个锐角，且有两个锐角时，这两个锐角必相邻．
事实上，设这个凸m边形为P1P2?Pm，只考虑至少有一个锐角的情况，此时不妨设?PmP1P2??2，则
?P2PjPm????P2P1Pm??2(3?j?m?1)，
更有?Pj?1PjPj?1??2(3?j?m?1)．
而?P1P2P3+?Pm?1PmP1??，故其中至多一个为锐角，这就证明了引理． 由引理知，若凸m边形中恰有两个内角是锐角，则它们对应的顶点相邻． 在凸m边形中，设顶点Ai与Aj为两个相邻顶点，且在这两个顶点处的内角均为锐角．设Ai与Aj的劣弧上包含了P的r条边（1?r?n），这样的(i,j)在r固定时恰有
2n?1对．
（1） 若凸m边形的其余m?2个顶点全在劣弧AiAj上，而AiAj劣弧上有r?1个P?2中的点，此时这m?2个顶点的取法数为Crm?1．
（2） 若凸m边形的其余m?2个顶点全在优弧AiAj上，取Ai，Aj的对径点Bi，Bj，由于凸m边形在顶点Ai，Aj处的内角为锐角，所以，其余的m?2个顶点全在劣弧BiBj上，而劣弧BiBj上恰有r个P中的点，此时这m?2个顶点的取法数为Crm?2．
所以，满足题设的凸m边形的个数为
n(2n?1)?(Cr?1m?2r?1?Cm?2r?nm?2nm?2?)?(2n?1)??Cr?1??Cr?r?1?r?1??1m?1m?1?(2n?1)(?(Crm?1?Crm)?(C?C?r?1r))?1r?1r?1nn
m?1m?1 ?(2n?1)(Cn)． ?1?Cn