发布时间 : 星期一 文章天津市宝坻区2019-2020学年高考第四次大联考数学试卷含解析更新完毕开始阅读0ec65ec3a2116c175f0e7cd184254b35eefd1a3a
【答案】 (Ⅰ)x?y?0；(Ⅱ)(??,2]；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】
试题分析：?1?将a?1，求出切线方程?2?求导后讨论当a?2时和a?2时的单调性证明，求出实数a的取值范围?3?先求出an、bn的通项公式，利用当x?0时，?x?2?ln?1?x??2x得ln?1?x??下面证明：Tn?ln?n?1??n?2?
解析：（Ⅰ）因为a?1，所以f?x???x?2?ln?x?1??x，f?0???0?2??ln1?0?0，切点为?0,0?. 由f??x??ln?x?1??2x，x?2x?20?2?1，所以f??0??ln?0?1???1?1，所以曲线y?f?x?在?0,0?处x?10?1的切线方程为y?0?1?x?0?，即x?y?0 （Ⅱ）由f??x??ln?x?1??则g??x??x?2?a，令g?x??f??x??x??0,????， x?111x???0（当且仅当x?0取等号）.故f??x?在?0,???上为增函数. x?1?x?1?2?x?1?2①当a?2时，f??x??f??0??0,故f?x?在0,???上为增函数， 所以f?x??f?0??0恒成立，故a?2符合题意；
a②当a?2时，由于f??0??2?a?0，f?e?1?1????1?0，根据零点存在定理， ea必存在t?0,e?1，使得f??t??0，由于f??x?在0,???上为增函数，
a???故当x??0,t?时，f??t??0,故f?x?在x??0,t?上为减函数，
所以当x??0,t?时，f?x??f?0??0,故f?x??0在0,???上不恒成立，所以a?2不符合题意.综上所述，实数a的取值范围为???,2
???4,n?1?3,n?1??32,?bn??. （III）证明：由Sn?n?3n?1?an??2n?2,n?22??,n?2?n?1?由（Ⅱ）知当x?0时，?x?2?ln?1?x??2x，故当x?0时，ln?1?x??2x， x?22n2?2?n2?2?n?.下面证明：Tn?ln?n?1??n?2? 故ln?1???，故?ln?1????2k1?kn1?n??k?1??k?1?2n2?2??2??2??2??2???2?ln1??ln1??ln1??ln1??????ln1??ln因为????????????1?? ?k??1??2??3??n?1??n?k?1n?n?1??n?2??lnn?1n?2?ln2n?1n?2??456?ln?3??????????ln ?????n?1n?2?234而，Tn?n4222??????? 32?13?1n?12222222241?????????1????????1?T??T? ?nn1?k1?12?13?1n?22?13?1n?233k?1所以，ln?n?1??n?2??ln2?Tn?，即：ln?n?1??n?2??Tn?131?ln2?Tn 3点睛：本题考查了利用导数的几何意义求出参数及证明不等式成立，借助第二问的证明过程，利用导数的单调性证明数列的不等式，在求解的过程中还要求出数列的和，计算较为复杂，本题属于难题． 20．在数列?an?中，a1?1,a1?2a2?3a3?...?nan?（1）求数列?an?的通项公式；
（2）若存在n?N?，使得an?(n?1)?成立，求实数?的最小值
n?1an?1，n?N? 2?1,n?11?【答案】（1）an??2n?2；（2）
?3,n?23??3【解析】 【分析】
（1）由a1?2a2?3a3?...?nan?n?1nan?1得a1?2a2?3a3?...?(n?1)an?1?an，两式相减可得?nan?22是从第二项开始的等比数列，由此即可求出答案；
an2?3n?2an?an??（2）an?(n?1)????，分类讨论，当n?2时，，作商法可得数列??为
n?1n?1n(n?1)n?1??递增数列，由此可得答案， 【详解】
解：（1）因为a1?2a2?3a3?...?nan?n?1nan?1，?a1?2a2?3a3?...?(n?1)an?1?an， 22?n?1?an?1?3n?1nan?1?an，即两式相减得：nan?，
nan22??nan?是从第二项开始的等比数列，
∵a1?1,
n?2∴a2?1，则nan?2?3，
?1,n?1??an??2n?2；
?3,n?2??3（2）an?(n?1)????当n?1时，
an， n?1a11?； 22an2?3n?2?当n?2时， n?1n(n?1)2?3n?2f(n?1)3n,???1,?f(n)递增， 设f(n)?n(n?1)f(n)n?21?f(n)min?f(2)?，
31所以实数?的最小值．
3【点睛】
本题主要考查地推数列的应用，属于中档题．
21．设抛物线C:y?2px?p?0?的焦点为F，准线为l，AB为抛物线C过焦点F的弦，已知以AB为
2直径的圆与l相切于点??1,0?. （1）求p的值及圆的方程；
（2）设M为l上任意一点，过点M作C的切线，切点为N，证明：MF?NF. 【答案】（1）2，?x?1??y2?4；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）由题意得l的方程为x??2p，根据AB为抛物线C过焦点F的弦，以AB为直径的圆与l相切于点2??1,0?..利用抛物线和圆的对称性，可得?p??1，圆心为F?1,0?，半径为2.
22（2）设M??1,y0?，MN的方程为y?k?x?1??y0，代入C的方程，得ky?4y?4?y0?k??0，根据直
线与抛物线相切，令??16?16k?y0?k??0，得y0?k?212，代入ky?4y?4?y0?k??0，解得y?.将kk
uuuuruuur21?12?,y?代入C的方程，得x?2，得到点N的坐标为?2?，然后求解FM?FN. ?kk?kk【详解】
（1）解：由题意得l的方程为x??所以?p， 2p??1，解得p?2. 2又由抛物线和圆的对称性可知，所求圆的圆心为F?1,0?，半径为2. 所以圆的方程为?x?1??y2?4.
（2）证明：易知直线MN的斜率存在且不为0，
2设M??1,y0?，MN的方程为y?k?x?1??y0，代入C的方程，
2得ky?4y?4?y0?k??0.
令??16?16k?y0?k??0，得y0?k?21， k2k2y2?4ky?4?0，解得y?. 所以ky?4y?4?y0?k??kk
21?12?将y?代入C的方程，得x?2，即点N的坐标为?2,?，
?kk?kkuuuuruuur?12?FM??2,y,FN??2?1,?， ?所以0?k??kuuuuruuur222?1?2FM?FN?2?2?y0??2?2???k???0，
kkk?k?k故MF?NF. 【点睛】
本题主要考查抛物线的定义几何性质以及直线与抛物线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
22．电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？ 男 女 合计 非体育迷 体育迷 10 合计 55 (2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．