发布时间 : 星期四 文章江苏省2012届高三高考信息卷 数学（二）（解析版）更新完毕开始阅读0ed0c224aaea998fcc220e17
斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值;若不是，请说明理由.
(3)平行于CD的直线l交椭圆E于M、N两点，求?CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程.
x2y2（1）设椭圆E方程为2?2?1,a?b?0,则a2?6?2?8，c2?6. 解：
abx2y2?椭圆E方程为??1.
82(2)依题意得D点的坐标为（-2，-1），且D点在椭圆E上，直线CP和DP的斜率KCP和KDP均存在，设P(x,y),
y?1y?1y?1y?1y2?1则KCP?,KDP?,?KCP?KDP???.x?2x?2x?2x?2x2?4
又?点P在椭圆E上，?x?8?4y，KCP?KDP22y2?11?2??. x?441?直线CP和DP的斜率之积为定值?.
41(3)?直线CD的斜率为，CD平行于直线l，
21?设直线l的方程为y?x?t,
21?y?x?t??2由?2， 2?x?y?1?2?8消去y，整理得x2?2tx?2t2?4?0，
?x1,2?2t?16?4t22?(t?4),
2?MN??x1?x2?2??y1?y2?21?1?()2?x1?x2
2 ?5?4?t2(?2?t?2).
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点C到直线MN的距离为d?t1?14?2t5,
?S?CMN2t112?MN?d??5?4?t??t?4?t2 2254?2. 2 ?t2(4?t2)?当且仅当t2?4?t2,即t2?2时取等号，
?CMN面积得最大值为2，此时直线l的方程为y?1x?2. 2
5. (1) 已知两个等比数列?an?，?bn?，满足a1?a(a?0),b1?a1?1,b2?a2?2,
b3?a3?3.若数列?an?唯一，求a的值； (2)是否
?an?，?bn?，使得b1?a1,b2?a2,b3?a3,b4?a4成公
差不为0的等差数列？若存在，求?an?，?bn?的通项公式；若不存在，说明理由. 解：(1)设?an?的公比为q，则b1?1?a,b2?2?aq,b3?3?aq2. 由b1,b2,b3成等比数列得(2?aq)2?(1?a)(3?aq2)， 即aq2?4aq?3a?1?0.（?）
由a?0得??4a2?4a?0，故方程（?）有两个不同的实根.
1再由?an?唯一，知方程必有一根为0，将q?0代入方程得a?.
3(2) 假设存在两个等比数列?an?，?bn?，使得b1?a1,b2?a2,b3?a3,b4?a4成公差不为0的等差数列，设?an?的公比为q1，?bn?的公比为q2. 则b2?a2?b1q2?a1q1， b3?a3?b1q22?a1q12， b4?a4?b1q23?a1q13.
由b1?a1,b2?a2,b3?a3,b4?a4成等差数列得
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22??2(b1q2?a1q1)?b1?a1?(b1q2?a1q1), ?2233??2(b1q2?a1q1)?b1q2?a1q1?(b1q2?a1q1).22?(*)?b1(q2?1)?a1(q1?1)?0,即? 22??b1q2(q2?1)?a1q1(q1?1)?0.(**)(*)?q2-(**)得a1(q1?q2)(q1?1)2?0. 由a1?0得q1?q2或q1?1.
当q1?q2时，由(*) (**)得b1?a1或q1?q2?1，这时(b2?a2)?(b1?a1)?0，与公差不为0矛盾.
当q1?1时，由(*) (**)得b1?0或q2?1，这时(b2?a2)?(b1?a1)?0，与公差不为0矛盾.
综上所述，不存在两个等比数列?an?，?bn?，使得b1?a1,b2?a2,b3?a3,b4?a4成公差不为0的等差数列.
6.已知函数f1(x)?mx1x?m,f(x)?(),其中m?R且m?0. 224x2?16(1)判断函数f1(x)的单调性；
?f1(x)?f（(2)若m??2，求函数f(x）2x)(x???2,2?)的最值；
?f1(x),x?2g(x)?(3)设函数，当m?2时，若对于任意的x1??2,???，总存在?f(x),x?2?2唯一的x2????,2?，使得g(x1)?g(x2)成立，试求m的取值范围.
m(4?x2）,则当m?0时，知函数f1(x)在(?2,2)上单调递增，在解：（1）f?1(x)?(2x2?8)2???,?2?及(2,??)上单调递减；当m?0时，知函数f1(x)在(?2,2)上单调递减，
在???,?2?及(2,??)上单调递增.
1x?m1?2m?()x. (2)由m??2,?2?x?2，可得f2(x)?()22mx1xm?f(x）?f1(x)?f（x)??2?(). 224x2?16由(1)知，当m??2，?2?x?2，函数f1(x)在??2,2?上是减函数，
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1xm而函数f2(x)?2?()在??2,2?上也是减函数，
2mm故当x??2时，函数f(x)取得最大值4?2m?,即2m?2?.
1616m当x?2时, 函数f(x)取得最小值2m?2?.
16(3)当m?2时，由于x1?2，则g(x1)?f1(x1)?mx14x1?162，
由(1)知，此时函数g(x1)在?2,???上是减函数，
m（0，f1(2)]，即g(x1)?（0，] 从而g(x1)?16若m?2时，由于x2?2，
1x?m11则g(x2)?f2(x2)?()2=()m?x2=()m?2x2，
2221（0，f2(2))，即g(x2)?（0，()m?2). 易知g(x2)在???,2?上单调递增，从而g(x2)?2m1m?2m1m?2?0成立即可, 要使g(x1)?g(x2)成立，只需?()，即?()162162m1设h(m)??()m?2,则易知函数h(m)在?2,???上单调递增，且h(4)?0，
162故m?4，所以2?m?4. 三、理科附加题
1.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程、民生工程和产业建设工程三类，
111这三类工程所含项目个数分别占总数的、、，现在3名工人独立地从中任意一
236个项目参与建设.
(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率.
(2)记X为3人中选择的项目所属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求
X的分布列及数学期望.
解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别
为事件Ai ，Bi ，Ci ，i=1，2，3.由题意，知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立, A i，B j，C k(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互独立，且P (A i)=
111,P(B j)= ,P(C k)= . 236(1) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率
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