发布时间 : 星期一 文章射影几何的诞生与发展更新完毕开始阅读0f067cf69e3143323968937d
??a211?a221?1??a2a212?22?1 ???a11a12?a21a22?0 时，仿射变换称为正交变换。正交变换的代数表达式为
??x??xcos???ysin??a13??xsin???ycos??a ?y23 (δ= ?1)
(2)位似变换
当仿射变换的系数满足下列条件时，仿射变换称为位似变换， ??x??kx?a13?y??ky?a , k≠0
23(3)压缩变换
??x??ax?y??by , ab≠0
(4)相似变换
当仿射变换的系数满足下列条件时，称为相似变换，
??x??a1x??b1y?a13?y??b , δ1x??a1y?a=±1
23△ =
a1??b122b??(a1?b1)?0
1?a1 相似变换总能分解为一个正交变换与一个位似变换的乘积。
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§4 仿射性质
定义4.1 图形经过仿射变换后保持不变的性质（量）称为图形的仿射性质（仿射不变量）。
同素性，结合性，以及平行性都是仿射性质；共线三点的单比是仿射不变量。
利用仿射变换的代数表示同样可以证明仿射性质。
定理4.1 两条平行直线经过仿射变换后仍变为两条平行直线。 推论1 两条相交直线经仿射变换后仍变为两条相交直线。 推论2 共点直线经仿射变换后，仍变为共点直线。 定理4.2 两条平行线段之比是仿射不变量。 定理4.3 两个三角形面积之比是仿射不变量。 证明 设在笛卡儿坐标系下，不共线三点A（x1 ，y1），B（x2,y2），C（x3,y3）经过仿射变换（1。1）后，对应点分别为A′（x1 ′，
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y1′），B′（x2′,y2′），C′（x3′,y3′），于是有
S△ABC=
1x22x3x1y11y21的绝对值 （1） y31?x11?S△A′B′C′=x22?x3?y11?y21的绝对值 （2） ?y31由仿射变换代数式（1.1），得
S△A′B′C′=
=
1x22x3x1y11a11a21a22a2300的绝对值 0y21?a12y31a131a11x2?a12y2?a13a21x2?a22y2?a2312a11x3?a12y3?a13a21x3?a22y3?a231a11x1?a12y1?a13a21x1?a22y1?a231= S△ABC|a11a22－a21a12|
所以
S?A?B?C??a11a22S?ABC?a2112a
同理，若三角形DEF在仿射变换下的对应图形是三角形D′E′F′，则同样有
S?D?E?F??a11a22S?DEF所以
?a2112a
S?A?B?C?S?D?E?F?= S?ABCS?DEF即
S?ABCS?A?B?C?= S?DEFS?D?E?F?这表明两三角形面积比是仿射不变量。
推论1 两平行四边形面积之比是仿射不变量。 推论2 两封闭图形面积比是仿射不变量。
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例1 求一仿射变换，将椭圆
x2y2 2?2?1
ab变成一个圆。
解 设有一个变换
??xx???a ??y??y?b? 显然，它是一个仿射变换，经过这个变换后，所给椭圆的象为
x?2?y?2?1
这是一个圆。
那么由仿射变换的可逆性，圆经过一个仿射变换后也可以变成椭圆。我们可以从圆的一些性质推倒出椭圆的一些性质。
即三角形存在内切椭圆。
例2 利用仿射变换求椭圆的面积。
解 设在笛氏直角坐标系下，椭圆的方程为
x2y2?2?1 2ab经过仿射变换
?x??x?a ??y?y?b?椭圆的对应图形为圆，其方程为
x?2?y?2?a2
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设在仿射变换下，△AOB对应△AOB′，其中各点坐标为 A（a,0）,O (0,0) , B (0,b) , B′(0,a) 。 由定理4.3的推论2，有
S椭圆S?AOB?S圆S?A?O?B?
所以
S椭圆=abπ.
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