发布时间 : 星期一 文章人教版2020高中数学 第一章 三角函数章末复习课学案 新人教A版必修4更新完毕开始阅读0f30a0f011661ed9ad51f01dc281e53a580251b5
第一章 三角函数
章末复习课
[整合·网络构建]
[警示·易错提醒]
1．关注角的概念的推广
(1)由于角的概念的推广，有些术语的含义也发生了变化．如小于90°的角可能是零角、锐角或负角．
(2)注意象限角、锐角、钝角等概念的区别和联系，如锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．
2．确定角所在象限的关注点
由三角函数值符号确定角α的象限时，不要忽视α的终边可能落在坐标轴上，如sin α
1
<0时，α终边在第三、四象限或y轴负半轴上．
3．关注正切函数的定义域
??π?(1)正切函数y＝tan x的定义域为?x∈R?x≠kπ＋，k∈Z?，不可写为{x|x≠k·360°
2???
＋90°，k∈Z}．
(2)有关正切的公式(同角三角函数商关系，诱导公式)应用时有限制条件． 4．平方关系应用的关注点
由平方关系sinα＋cosα＝1，开方后求另一个三角函数值，易错的地方是未对角所在象限进行讨论．
5．正确应用诱导公式
π
(1)明确诱导公式的基本功能：将k·±α(k∈Z)的三角函数值化为α的三角函数值，
2实现变名、变号或变角等作用．
(2)熟悉应用口诀解题，一方面注意函数名称，另一方面注意符号的变化． 6．关注三角函数的定义域、值域
(1)解正弦、余弦函数值问题时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1.
???π
(2)解正切函数问题时，应注意正切函数的定义域，即?x?x≠kπ＋，k∈Z?.
2???
2
2
7．正确掌握含三角函数的复合函数的单调性
(1)要求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间，先研究正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的相应单调区间，再把其中的“x”用“ωx＋φ”代替，解关于x的不等式即可求出所求的单调区间，但要特别关注A的正负．
(2)正切函数只有单调递增区间无单调递减区间.
专题一 三角函数的概念
三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
[例1] (1)设角α属于第二象限，?cos ?＝－cos ，试判定角属于第几象限．
2?22?(2)求函数y＝3tan x＋3的定义域．
π
解：(1)依题意得2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，
2
?
α?
αα 2
παπ
所以kπ＋< 422当k＝2n(n∈Z)时，为第一象限角； 2当k＝2n＋1(n∈Z)时，为第三象限角． 2又?cos ?＝－cos ≥0，所以cos ≤0. 2?22? 所以应为第二、三象限角或终边落在x非正半轴上或y轴上． 2综上所述，是第三象限角． 2(2)3tan x＋3≥0，即tan x≥－所以kπ－ 3. 3 3tan x＋3的定义域为 αα? α? ααααππ≤x ???ππ ?x?kπ－≤x 62??? 归纳升华 1．由α所在象限，判断角所在象限时，一般有两种方法：一种是利用终边相同角的 2集合的几何意义，用数形结合的方法确定的所属象限；另一种方法就是将k进行分类讨论． 2 2．求函数的定义域注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解题；求与正切函数有关问题时，不要忽视正切函数自身的定义域． [变式训练] (1)若θ为第四象限的角，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号； αα?π?(2)已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈?，π?，求α的正切值． ?2? ππ 解：(1)因为θ为第四象限角，所以0 22所以sin(cos θ)>0，cos(sin θ)>0， 所以sin(cos θ)·cos(sin θ)>0. ?π?(2)因为θ∈?，π?，所以cos θ<0， ?2? 所以r＝x＋y＝9cosθ＋16cosθ＝－5cos θ， 2 2 2 2 y4 故sin α＝＝－， r5 3 x3y4 cos α＝＝，tan α＝＝－. r5x3 专题二 同角三角函数的基本关系与诱导公式 在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时，要注意题中的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简，求值时，要注意正负号的选取． 2＋tan（θ－π） [例2] 已知＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的 1＋tan（2π－θ）值． 2＋tan θ解：法一：由已知＝－4， 1－tan θ所以2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2， 所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝ 4sin θcos θ－sinθ－3cosθ＝ 4sin θcos θ－sinθ－3cosθ4tan θ－tanθ－3 ＝＝ 222 sinθ＋cosθtanθ＋18－4－31＝. 4＋15 2＋tan θ法二：由已知＝－4， 1－tan θsin θ解得tan θ＝2，即＝2， cos θ所以sin θ＝2cos θ， 所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝ (2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝ cosθ11 cosθ＝2＝＝. 22 sinθ＋cosθtanθ＋15 2 2 2 2 2 2 2 归纳升华 三角函数式的化简，求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．解题中的常用技巧有：(1)弦切互化，减少或统一函数名称；(2)“1”的代换，如：1π22 ＝sinα＋cosα(常用于解决有关正、余弦齐次式的化简求值问题中)，1＝tan 等；(3) 4若式子中有角 kπ 2 ，k∈Z，则先利用诱导公式化简． [变式训练] 已知tan α＝2，求下列各式的值： 1 (1)2； 2 sinα－sin αcos α－cosα 4