发布时间 : 星期六 文章2007年高考数学试题分类汇编-圆锥曲线（ks5u高考资源网）更新完毕开始阅读0f67f8f34693daef5ef73dc8
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y2?4x的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
x2y2??1 Ａ．
1224x22y2??1 Ｃ．33
x2y2??1 Ｂ．
4896
x2y2??1 Ｄ．
36（22）（本小题满分14分）
x2y2设椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F，F2，A是椭圆上的一点，1ab1OOF1． ，原点到直线的距离为AF?FFAF21213（Ⅰ）证明a?2b；
（Ⅱ）求t?(0，b)使得下述命题成立：设圆x2?y2?t2上任意点M(x0，y0)处的切线交椭圆于Q1，Q2两点，则OQ1?OQ2．
（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）证法一：由题设AF2?F，0)，F2(c，0)，不妨设点A(c，y)，其中 1F2及F1(?cc2y2y?0，由于点A在椭圆上，有2?2?1，
aba2?b2y2?2?1， 2ab?b2?b2解得y?，从而得到A?c，?，
a?a?b2(x?c)，整理得 直线AF2的方程为y?2acb2x?2acy?b2c?0．
由题设，原点O到直线AF1的距离为
1OF1，即 3 共50页 第5页
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cb2c， ?4223b?4ac将c2?a2?b2代入原式并化简得a2?2b2，即a?2b．
?b2?证法二：同证法一，得到点A的坐标为?c，?，
?a?H，易知△F1BC∽△F1F2A，故 过点O作OB?AF1，垂足为
yBOOF1?F2AF1A
HA F1 O 1OF1，所以 3F2x 由椭圆定义得AF1?AF2?2a，又BO?F2A1F2A， ??3F1A2a?F2Ab2b2aa?，即a?2b． 解得F2A?，而F2A?，得
2aa2（Ⅱ）解法一：圆x2?y2?t2上的任意点M(x0，y0)处的切线方程为x0x?y0y?t2． 当t?(0，b)时，圆x2?y2?t2上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点Q1和Q2，因此点Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标是方程组
2??x0x?y0y?t ①的解．当y0?0时，由①式得 ?222??x?2y?2b ②t2?x0x y?y0?t2?x0x?22代入②式，得x?2???2b，即
?y0?222(2x0?y0)x2?4t2x0x?2t4?2b2y0?0，
224t2x02t4?2b2y0于是x1?x2?，x1x2? 22222x0?y02x0?y0 共50页 第6页
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t2?x0x1t2?x1x2 y1y2??y0y1?1422? t?xt(x?x)?xx1x2?01202??y04224t2x01?4222t?2by0? ?2?t?x0t?x02222?y0?2x0?y02x0?y0?2t4?2b2x0． ?222x0?y0若OQ1?OQ2，则
22222t4?2b2y0t4?2b2x03t4?2b2(x0?y0)x1x2?y1y2????0． 2222222x0?y02x0?y02x0?y02222所以，3t4?2b2(x0?y0)?0．由x0?y0?t2，得3t4?2b2t2?0．在区间(0，b)内此方
程的解为t?6b． 36b． 3当y0?0时，必有x0?0，同理求得在区间(0，b)内的解为t?另一方面，当t?6b时，可推出x1x2?y1y2?0，从而OQ1?OQ2． 3综上所述，t?6b?(0，b)使得所述命题成立． 3天津理 22．（本小题满分14分）
x2y2设椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F，F2，A是椭圆上的一点，1ab1OOF1． ，原点到直线的距离为AF?FFAF21213（Ⅰ）证明a?2b；
（Ⅱ）设Q1，Q2为椭圆上的两个动点，OQ1?OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．
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22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）证法一：由题设AF2?F，0)，F2(c，0)，不妨设点A(c，y)，其中1F2及F1(?cc2y2a2?b2y2?2?1． y?0．由于点A在椭圆上，有2?2?1，即
aba2b?b2?b2解得y?，从而得到A?c，?．
a?a?b2(x?c)，整理得b2x?2acy?b2c?0． 直线AF1的方程为y?2ac1cb2c由题设，原点O到直线AF1的距离为OF1，即?，
42233b?4ac222将c?a?b代入上式并化简得a2?2b2，即a?2b．
?b2?证法二：同证法一，得到点A的坐标为?c，?．
?a?B，易知△F1BO∽△F1F2A，故过点O作OB?AF1，垂足为由椭圆定义得AF1?AF2?2a，又BO?所以
BOOF1?F2AF1A． 1OF1， 3F2A1F2A， ??3F1A2a?F2AyB A b2b2aa?，即a?2b． 解得F2A?，而F2A?，得
2aa2（Ⅱ）解法一：设点D的坐标为(x0，y0)．
当y0?0时，由OD?QQ1Q2的斜率为?12知，直线QF1 O F2x x0，所以直线Q1Q2的方程为y02x0x0x0y??(x?x0)?y0，或y?kx?m，其中k??，m?y0?．
y0y0y0?y?kx?m，点Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标满足方程组?2 22x?2y?2b．? 共50页 第8页