发布时间 : 星期六 文章2007年高考数学试题分类汇编-圆锥曲线（ks5u高考资源网）更新完毕开始阅读0f67f8f34693daef5ef73dc8
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?????????PF1?PF2??3?x,?y,???x213?x,?y?x?y?3?x?1??3??3x2?8?
44?222??????????2 因为x???2,2?，故当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值?????????x??2P1当，即点为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值
解法二：易知a?2,b?1,c?3，所以F1?3,0,F2???3,0，设P?x,y?，则
?????2?????2?????2???????????????????????????PF1?PF2?F1F2PF1?PF2?PF1?PF2?cos?F1PF2?PF1?PF2? ?????????2PF1?PF2221?2?x?3?y?x?3?y2?12??x2?y2?3（以下同解法一）
???2?????（Ⅱ）显然直线x?0不满足题设条件，可设直线l:y?kx?2,A?x1,y2?,B?x2,y2?，
?y?kx?21???联立?x2，消去y，整理得：?k2??x2?4kx?3?0
24????y?1?4∴x1?x2??4k1k2?4??,x1?x2?31k2?4
由???4k??4?k?002331?2得：或 k??k??3?4k?3?0?224?????????又0??A0B?90?cos?A0B?0?OA?OB?0
????????∴OA?OB?x1x2?y1y2?0
?k2?1?8k2??4?又y1y2??kx1?2??kx2?2??kx1x2?2k?x1?x2??4?
111222k?k?k?44423k2?k2?1??0，即k2?4 ∴?2?k?2 ∵
11k2?k2?443故由①、②得?2?k?? 共50页 第13页
33或?k?2 22高考资源网——提供高考试题、高考模拟题，发布高考信息题
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上海理
x2y2??1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方8、已知双曲线45程为_____
x2y2y2x221、已知半椭圆2?2?1?x?0?与半椭圆2?2?1?x?0?组成的曲线称为“果圆”，
abbc其中a2?b2?c2,a?0,b?c?0，F0,F1,F2是对应的焦点。 （1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）若A1A?B1B，求
b的取值范围； a（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由。 21．[解]
（1）∵F0（c，0）F1（0，?b?c），F2（0，b?c）
22222∴| F0F1 |＝(b?c)?c?b?1，| F1F2 |＝2b?c?1 22222于是c?37222，a?b?c?，所求“果圆”方程为 4442422x?y2?1（x≥0），y?x?1（x≤0）． 7322??4分
（2）由题意，得a＋c＞2b，即a?b?2b?a． ∵（2b）2＞b2＋c2，∴a2－b2＞（2b－a）2，得
b4? a5??7分
b21又b＞c＝a－b，∴2?．
a22
2
2
2
∴
b24?(,)． a25x2y2y2x2（3）设“果圆”的方程为2?2?1（x≥0）2?2?1（x≤0）
abba记平行弦的斜率为k．
共50页 第14页
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x2y2当k＝0时，直线y＝t（－b≤t≤b）与半椭圆2?2?1（x≥0）的交点是
aby2x2t2t2． p(a1?2,t)，与半椭圆2?2?1（x≤0）的交点是Q（?c1?2,t）
babb?a?ct2?x?1?2∴P、Q的中点M（x，y）满足?2b
?y?t?x2y2??1． 得
a?c2b2()2∵a＜2b，∴(a?c2a?c?2ba?c?2b)?b2???0． 222综上所述，当k＝0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆??14分
x2y2当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆2?2?1（x≥0）的交点是
ab2ka2bk2a2b?b3(22,22) 22ka?bka?bb2由此，在直线l右测，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线y?2x上，即不在某
k一椭圆上．
??17分
当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上． ??18分 上海文
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．
x2y2y2x2我们把由半椭圆2?2?1 (x≥0)与半椭圆2?2?1 (x≤0)合成的曲线称
abbc222作“果圆”，其中a?b?c，a?0，b?c?0．
如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆” 与x，y轴
y 的交点，M是线段A1A2的中点． （1）若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，求该 共50页 第15页 B2A1 . F. . O M . F20A2x F1 高考资源网——提供高考试题、高考模拟题，发布高考信息题
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“果圆”的方程；
y2x2（2）设P是“果圆”的半椭圆2?2?1
bc(x≤0)上任意一点．求证：当
PM取得最小值时，
P在点B1，B2或A1处；
（3）若P是“果圆”上任意一点，求PM取得最小值时点P的横坐标． 21．解：（1）? F0(c，0)，F10，?b2?c2，F20，b2?c2，
?F0F2??????b2?c2??c2?b?1，F1F2?2b2?c2?1，
37于是c2?，a2?b2?c2?，
4444所求“果圆”方程为x2?y2?1(x≥0)，y2?x2?1(x≤0)．
73y)，则 （2）设P(x，a?c??2 |PM|2??x???y
2???b2?2(a?c)2?b2，?c≤x≤0， ??1?2?x?(a?c)x?c?4?2b22 ?1?2?0，? |PM|的最小值只能在x?0或x??c处取到．
c 即当PM取得最小值时，P在点B1，B2或A1处．
x2y2 （3）?|A1M|?|MA2|，且B1和B2同时位于“果圆”的半椭圆2?2?1(x≥0)aby2x2和半椭圆2?2?1(x≤0)上，所以，由（2）知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆
bcx2y2??1(x≥0)上的情形即可． a2b2a?c??2 |PM|2??x???y
2??c2?a2(a?c)?(a?c)2a2(a?c)22? ?2?x?． ??b?224a?2c4c? 共50页 第16页
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