发布时间 : 星期六 文章2007年高考数学试题分类汇编-圆锥曲线（ks5u高考资源网）更新完毕开始阅读0f67f8f34693daef5ef73dc8
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?(0???1)，使得d1d2sin2???．
（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
（2）如图，过点F2的直线与双曲线C的右支交于
yA P F1 O F2x B A，B两点．问：是否存在?，使△FAB是以点B为1直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出?的值；若不存在，说明理由．
22．解：（1）在△PF1F2中，FF12?2
24?d12?d2?2d1d2cos2??(d1?d2)2?4d1d2sin2?
(d1?d2)2?4?4?
d1?d2?21??（小于2的常数）
故动点P的轨迹C是以F1，F2为焦点，实轴长2a?21??的双曲线．
x2y2??1． 方程为1???（2）方法一：在△AF1B中，设AF1?d1，AF2?d2，BF1?d3，BF2?d4． 假设△AF1B为等腰直角三角形，则
??d1?d2?2a?①??d3?d4?2a?②? ?d3?d4?d2?③??d1?2d3?④?2π???⑤?d3d4sin?4由②与③得d2?2a，
?d1?4a?则?d3?22a ??d4?d3?2a?2(2?1)a 共50页 第29页
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由⑤得d3d4?2?，
42(2?1)a2?2? (8?42)(1??)?2?，
??12?22?(0，1) 1712?22满足题设条件． 17故存在??方法二：（1）设△AF1B为等腰直角三角形，依题设可得
?2?22??2πAF?AF??，AF?AF?sin???122?π?1?82?1 1?cos???42π?BF?BF??sin??12???4?BF1?BF2?2?所以S△AF1F2?1π1AF1?AF2sin?(2?1)?，S△BF1F2?BF1?BF2??． 242则S△AFB?(2?2)?．① 1由
S△AF1F2S△BF1F2?AF2BF2?2?1，可设BF2?d，
则AF2?(2?1)d，BF1?AB?(2?2)d． 则S△AF1B?112AB?(2?2)2d2．② 22由①②得(2?2)d2?2?．③
根据双曲线定义BF1?BF2?2a?21??可得，(2?1)d?21??． 平方得：(2?1)2d2?4(1??)．④ 由③④消去d可解得，??12?22?(0，1) 17故存在??江苏理
12?22满足题设条件． 17共50页 第30页
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3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为
x?2y?0，则它的离心率为
A．5 B．5 C．3 D．2 215．在平面直角坐标系xOy中，已知?ABC顶点A(?4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆
x2y2sinA?sinC? . ??1上，则
sinB251619、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线，与抛物线y?x2相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l:y??c交于P,Q，
yCPAB????????（1）若OA?OB?2，求c的值；（5分）
（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分）
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）
OQxl2解：（1）设过C点的直线为y?kx?c，所以x?kx?c?c?0?，即x?kx?c?0，设
2????????????????A?x1,y1?,B?x2,y2?，OA=?x1,y1?，OB??x2,y2?，因为OA?OB?2，所以
2k?c2?2，即c2?c?2?0,所以c?2舍去c??1 所以?c?kc?kc?x1x2?y1y2?2，即x1x2??kx1?c??kx2?c??2，x1x2?k2x1x2?kc?x1?x2??c2?2
??（2）设过Q的切线为y?y1?k1?x?x1?，y?2x，所以k1?2x1，即
/?x?c,?c?，又y?2x1x?2x12?y1?2x1x?x12，它与y??c的交点为M?1??22x1???y?2?kk2c?x1?x2y1?k?，所以Q，因为,所以xx??c??x2，,?cP?,?,?c??12???x12??22?2??2??xx??k?所以M?1?2,?c???,?c?,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。
??22??2?k??k?（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q?,?c?，因为PQ?x轴，所以P?,yP?
?2??2?x?x2k?，所以P为AB的中点。 因为122 共50页 第31页
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x2y29．设F1，F2分别是椭圆2?2?1（a?b?0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P,ab使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A．?0，???2?? 2?B．?0，?
???3?3?C．??2? ，1???2?D．??3? ，1???3?20．（本小题满分12分）
已知双曲线x2?y2?2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于
A，B两点．
?????????????????O为坐标原点）（I）若动点M满足FM，求点M的轨迹方程； ?F1A?F1B?FO11（其中????????（II）在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存
在，请说明理由．
20．解：由条件知F1(?2，0)，F2(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
?????????解法一：（I）设M(x，y)，则则FM?(x?2，y)，F1A?(x1?2，y1)， 1?????????????????????????F1B?(x2?2，y2)，FO?(2，0)，由FM?F1A?F1B?FO111得 ?x?2?x1?x2?6，?x1?x2?x?4，即? ??y1?y2?y?y?y1?y2于是AB的中点坐标为??x?4y?，?． 22??yy?y2yy2(x1?x2)． 当AB不与x轴垂直时，1，即y1?y2???x?4x?8x1?x2?2x?82222又因为A，B两点在双曲线上，所以x1?y12?2，x2?y2?2，两式相减得
(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)，即(x1?x2)(x?4)?(y1?y2)y．
将y1?y2?y(x1?x2)代入上式，化简得(x?6)2?y2?4． x?80)，也满足上述方程． 当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(8，所以点M的轨迹方程是(x?6)?y?4．
共50页 第32页
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