发布时间 : 星期四 文章第十三章 函数列与函数项级数习题更新完毕开始阅读0f81bce55727a5e9846a61a2
第十三章 函数列与函数项级数
一、基本概念与基本理论
1．函数列的收敛
2. 函数列一致收敛的定义及判别方法 3. 函数项级数的收敛
4 函数项级数一致收敛的定义及判别法 5.一致收敛函数列与函数项级数的性质
二、练习题
1.判断题
(1) 若函数列?fn(x)?在I上内闭一致收敛，则函数列?fn(x)?在I上一致收敛（ ） (2) 函数项级数一致收敛必绝对收敛（ ） (3) 函数项级数绝对收敛必一致收敛（ ）
(4)若函数列fn(x)?f(x),(n??),x?D，fn(x)?f(x)?an，且数列?an?收敛，则． ?fn(x)?在D上一致收敛于f(x)（ ）(5)函数项级数
． ?u(x)在D上一致收敛的充要条件是u(x)?0,x?D（ ）
n?nn?1(6)若fn(x)?f(x),(n??),x?D，且存在数列{xn}?D，使fn(xn)?f(xn)不趋近0，则函数列?fn(x)?在D上非一致收敛（ ）．
(7)若函数项级数一致收敛，则必存在优级数（ ）
(8)阿贝尔判别法是判断函数项级数一致收敛的充分非必要条件（ ） (9)若f(x)??an?1?n，那么f(x)在[a,b] (x)在[a,b]上一致收敛，且an(x)可导（n=1,2…）
上可导，且f?(x)??a?(x)（ ）
nn?1?(10) ?fn(x)?定义在[a,b]上，x0?[a,b]为?fn(x)?的收敛点，?fn(x)?的每一项在[a,b]上有连续的导数，且?fn(x)?在[a,b]上一致收敛，则
dd(limfn(x))?limfn(x)（ ）
n??dxdxn??(11)?fn(x)?为定义在[a,b]上的函数列，?fn?(x)?在[a,b] x0?[a,b]为?fn(x)?的收敛点，上连续，且?fn?(x)?在[a,b]上一致收敛，则?fn(x)?也一致收敛（ ）
(12) 每项都连续的函数列?fn(x)?在区间I上内闭一致收敛于f(x)，则f(x)在I上连续（ ） (13)一致收敛是极限运算与积分运算能够交换顺序的充要条件（ ） 2.设函数列fn(x)?xn，n?1,2,?， (1)求该函数列的极限函数和收敛域
(2)证明fn(x)?xn在[?a,a](0?a?1)上一致收敛，在(?1,1]上不一致收敛，在(?1,1)呢？ 3.判断函数列fn(x)?xn(1?x)，x?[0,1]，n?1,2,?是否一致收敛
4. 设函数f(x)是[0,1]上的连续函数，gn(x)?f(x)xn，n?1,2,?，证明函数列gn(x)在
[0,1]上一致收敛的充要条件是f(1)?0.
5. 函数?(x)是[a,b]上的连续函数，函数列?fn(x)?满足：(1) ?(b)?0，内闭一致收敛；(2)
?fn(x)?在[a,b)
?fn(x)?在[a,b]上一致有界。证明函数列gn(x)?fn(x)?(x)在
[a,b]上一致收敛.
6.证明函数列?sin?在任何区间[?R,R]上一致收敛，在(??,??)不一致收敛，但它的导函数列在(??,??)一致收敛.
7.设f1(x)在[a,b]上Riemann可积，fn?1(x)?在[a,b]上一致收敛于0 8.判断函数列fn(x)???x?n??ba证明函数列{fn(x)} fn(x)dx(n?1,2,?)，
x在D?(??,?)上是否一致收敛.
1?n2x29.设?x?[a,b]，数列{un(x)}单调递减收敛于0；?n?1，un(x)是[a,b]上单调函数。求证：
?(?1)u(x)在[a,b]一致收敛。
nnn?1?10.判断下列函数项级数在所示区间D上的一致收敛性
xn(1) ? D?[?r,r] (2)
n?1(n-1)!??xnD?[0,1] ?2n?1n??nx(?1)nD?(??,??) (4)?D?(??,??) (3) ?2521?nxn?1n?1x?n(?1)n?1x2(5) ? D?(??,??) (6) 2nn?1(1?x)??xn?1?n(1?x)2，D?[0,1]
???x2x?(7) ?ln??1?nln2n?? D?[0,1] (8)?(1?x2)n?1 D?(??,??)
n?1n?1???(?1)n(x?n)nD?[0,1] (10) (9)?n?1nn?1?x(x?n)n D?[?r,r] ?2?nnn?1?(?1)n(x2?n)D?[a,b] (12) (11)?2nn?1???1D?(0,??) ?(x?n)(x?n?1)n?1?x2n,(13) ? D?[0?? )和D?[0,a](0?a?1) 2n?1n?11?x11.求证：
nn在[0,1]上绝对收敛且一致收敛，但并不绝对一致收敛. (?1)(1?x)x?n?0??x2?n12. 证明：?(?1)在任何有限区间[a,b]上一致收敛，而在任何一点都不绝对收敛. 2nn?1??n13. 证明函数项级数
?n?1?nx?(?1)n(ex?n)n322在区间[a,b]上一致收敛但不绝对收敛
14.证明f(x)??nen?1??在(0,??)收敛，但非一致收敛，而和函数在(0,??)内无穷次可微.
15.设f(x)?1，求证：f(x)在(1,??)上存在任意阶导数. ?xnn?1sinnx在(??,??)上连续，且有连续的导函数. ?3nn?1???16. 证明函数f(x)??12217.设un(x)?3ln(1?nx),n?1,2,?，证明函数项级数?un(x)在区间[0,1]上一致收
nn?1敛，并讨论其和函数在[0,1]上的连续性、可积性与可微性.
xcosnxS(x)(??,??)，证明在上连续，并计算积分S(t)dt. ?? 0n?1nn?18.设函数S(x)?19.设f0(x)在[a,b]连续，fn(x)???xafn?1(t)dt(n?1)，证明?fn(x)在[a,b]上一致收敛
n?1??xsin?t?20．求证??tsin?tdt??dt(0?x?1)
0?01?tn?0xn1??21．证明：??x??在(?1,1)收敛，但不一致收敛，和函数S(x)在(?1,1)连续。
n?n?1?
?n