发布时间 : 星期三 文章现代数字信号处理复习题2014更新完毕开始阅读0fa7f8ce0708763231126edb6f1aff00bed57041
?1??1?sin2??t???sin??t???1???1??2??2??2????t??2???t?? ??t??????1???2???2???t???2?
在构造过程中涉及到的低通滤波器是
?????
高通滤波器是
1he?2nn?Z?in???1 0????2 ????0 ????2???0 ???2 ?????e?i???????????e?i? ????2?
相应的????矩阵
???????????????????????????????
??
也是酉矩阵。
为了得到正交小波函数??t?，利用频域计算比较方便。实际上，正交小波函数??t?的频域形式可写成
???????????????2??2? ?i?i?i???????????????e2?1?????????e2????e2?????2???2??2???????e?i?2于是，利用Fourier变换的性质可得
??1???1???t??2???2?t?2??????t?2?
??????它和前面的Shannon小波函数相比较，只是在时间轴上有半个单位的移动。但是，它们是完全不同的两个Shannon小波。因为，它们生成空间L?R?的两个正交小波基是没有相同基函数的。
242.说明Haar小波是正交小波(直接或MRA)；
⑴ 直接说明Haar小波是正交小波
Haar小波是法国数学家A.Haar在二十世纪三十年代给出的。具体定义是
? 1 0?x?0.5?h?x????1 0.5?x?1
?0 x??0,1??第13页，共55页
? 2j 2-jk?x?2-jk?2??j?1???hj,k?x????2j 2-jk?2??j?1??x?2-j?k?1?
? 0 x?2-jk , 2-j?k?1?????对任意(j1,k1),(j2,k2)，有
?hj1,k1,hj2,k2???(j1?j2)?(k1?k2)
以??j1?j2?0;k1?0,k2?1?j1?j2,j1?0,j2?1;k1?k2?0为例进行验证，如下图所示
?2,0?t?1/4?h0,0(t)?h(t),h0,1(t)?h(t?1),h1,0(t)?2h(2t)???2,1/4?t?1/2
?0,其它??h0,0(t),h0,1(t)???h(t)h(t?1)dt?0?????h0,0(t),h1,0(t)???h(t)h1,0(t)dt?0????
即，函数族
j????j2?hj,k?x??2h2x?k ; ?j,k??Z?Z? ??????构成函数空间L2?R?的标准正交基，所以，Haar函数h(x)是正交小波，称为Haar小波。
⑵定义函数??t?:
?0 t ? ?0, 1???t???
t??0, 1??1 它是?0, 1?的特征函数，构造
?m?Vm?Closespan?22?2mt?n; n?Z?
????Vm; m?Z?; ??t??是L?R?上的一个正交多分辨分析，这就是生成L?R?的闭子空间，m?Z。容易验证，??22Haar的多分辨分析。实际上，这里的闭子空间Vm具有如下的具体表表达形式
?Vm??h?t?; h?t??hk, 2?mk?t?2?m?k?1?, ?k?Z,?hkk?Z?即Vm由能量有限的台阶函数组成，这些台阶函数的跳跃点至多出现在2因为函数族
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?m2?????
?k这样的点上，其中k是任意整数。
???t?k?;k?Z?
是标准正交系，从而它必是V0的标准正交基。这时，双尺度方程是
1?1???t??2???2t????2t?1??
2?2?因此，h0?h1?111,g1?，所以，g0??，这样得到如下构造方程 2221?1???t??2????2t????2t?1??
22????t?是一个正交小波，容易看出，她与前面的Haar小波函数相差一个符号。构造过程中相应的低通滤波器是
?????高通滤波器是
11?e?i? 2???????e?i??????而且
1?1?e?i? 2??1?1?e?i????????i?2??1?e是酉矩阵
?1?e?i??? ?i???1?e??*?????????
43.从随机过程的平稳性上考虑，卡尔曼滤波的适用范围？
答：卡尔曼滤波不仅适用于平稳随机过程，同样也适用于非平稳随机过程。
44.简述基于卡尔曼滤波理论的方法。 答： 为使自适应滤波器能工作在工作在平稳或非平稳的环境，可以借助于卡尔曼滤波器来推导自适应滤波算法。卡尔曼滤波是线性无偏最小方差递推滤波，估计性能是最优的，且递推计算形式又能适应实时处理的需要对于一个线性动态系统的卡尔曼滤波问题，可以用状态方程和测量方程来描述，前者以状态矢量刻画系统的动态，后者描述系统中的测量误差。
假设研究离散线性动态系统的N维参数的状态矢量为x(n)，M维观察数据的测量矢量为y(n)，通常矢量x(n)和
y(n)都是随机变量，由他们表示系统模型的状态方程和测量分别为
X(n?1)??(n?1,n)x(n)?v1(n) （1）
Y(n)?C(n)x(n)?v2(n) （2）
其中?(n?1,n)为系统在n?1和n时刻的N?N状态转移矩阵，C(n)为已知的N?M测量矩阵 系统动态噪声v1(n)和观察噪声v2(n)的统计特性为
E[v1(n)]?0， cov(v1(n),v1(k))?E[v1(n)v1H(k)]?Q1(n)?nk （3）
H(k)]?Q2(n)?nk （4） E[v2(n)]?0， cov(v2(n),v2(k))?E[v2(n)v2H cov(v1(n),v2(n))?E[v2(n)v2(k)]?0 （5）
“H”表示共轭转置；当n=k，=1，当n≠k，
=0；噪声矢量v1(n)和v2(n)统计独立的。根据观察数据的测
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量矢量y(1),y(2),…y(n)，可求出系统状态x(i)的线性无偏最小方差估计。当i?n时，这种最佳估计问题成
为卡尔曼滤波；当i?n时，则称为最优预测；两者之间存在密切的关系。 45.什么叫白噪声?
答: 白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。 所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声。理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大。
46.若{X(t),t?T}为均方连续的实平稳随机过程，则其自相关函数RX(?)具有那些常用性质？RX(?)在计算其功率谱SX(?)时有什么作用？ 答：（1）RX(?)具有如下常用性质： （a）RX(0)?0;
（b）RX(?)=RX(??)，RX(?)是实偶函数； （c）|RX(?)|?RX(0)；
（d）若X(t)是周期为T的周期函数，即X(t)=X(t?T)，则RX(?)?RX(??T)；
（e）若X(t)是不含周期分量的非周期过程，当|?|???时，X(t)与X(t??)相互独立，则
|?|???
limRX(?)?mXmX。
??___（2）若|RX(?)|d????，根据辛钦—维纳定理
???1SX(?)??RX(?)ed? RX(?)=
2???自相关函数RX(?)和功率谱SX(?)是一对傅里叶变换对。
?j??????j??S(?)ed? X???47.什么叫白噪声?
答: 白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。 所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声。理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大。 48.简述经典功率谱估计与现代功率谱估计的差别。
信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，通常是求其功率谱来进行频谱分析。功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长信号估计原信号的真实功率谱，这就是功率谱估计。
功率谱估计分为经典谱估计和现代谱估计。经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗，主要方法有相关法和周期图法；现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱，主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的。
49.在时域对一有限长的模拟信号以4KHZ采样，然后对采到的N个抽样做N点DFT，所得离散谱线的间距相当于模拟频率100HZ。某人想使频率能被看得清楚些，每50HZ能有一根谱线，于是他用8KHZ采样，对采到的2N个样点做2N点DFT。问：他的目的能达到吗？
答：不能，因为他忽略了数字频率和模拟频率的区别。
提高采样频率fs ，N 固然大了，数字频率（单位圆）上的样点数确实增加了，但从模拟频率谱看，样点一点也没有变得密集，这是因为数字频率2?总是对应模拟频率fs 。采样频率由fs到2fs 增加一倍，N也增加一倍，但模拟频率的采样间隔率的分辨率(2fsfs??100Hz 一点也没有变。所以，增大采样频率，只能提高数字频2NN2?2??) ，不能提高模拟频率的分辨率。 N2N
50.在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，他们分别起什么作用？
解：在A/D 变换之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗折叠”滤波器。
在D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称为“平滑”滤波器。
51.什么是宽平稳随机过程？什么是严平稳随机过程？它们之间有什么联系？
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