发布时间 : 星期日 文章概率论与数理统计经管类考前必备公式大全更新完毕开始阅读10f4cfbc59fafab069dc5022aaea998fcd2240ed
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概率论与数理统计公式大全
第一章 随机事件和概率
nPm?（1）排列
组合公式
nCm?m! 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
(m?n)!m! 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
n!(m?n)!（2）加法和乘法原理
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用?来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用?表示。
一个事件就是由?中的部分点（基本事件?）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是?的子集。 ?为必然事件，?为不可能事件。
不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 ①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：
（3）一些
常见排列 （4）随机试验和随机事件
（5）基本事件、样本空间和事件
A?B
（6）事件的关系与运算
如果同时有A?B，B?A，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A?B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生：A?B，或者AB。A?B=?，则表示A与B不可能同时发生，称
事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
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?-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的
事件。互斥未必对立。 ②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率：i?1?A??Aii?1??i
A?B?A?B，A?B?A?B
（7）概率的公理化定义
设?为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：
1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件A1，A2，…有
常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件A的概率。
?1,?2??n?， 1° ???（8）古典
概型
2° P(?1)?P(?2)??P(?n)?1。 n设任一事件A，它是由?1,?2??m组成的，则有
P(A)=?(?1)?(?2)???(?m)? =P(?1)?P(?2)???P(?m)
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，
（9）几何概型
P(A)?（10）加法公式 （11）减法公式
L(A)。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。 L(?)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B?A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B)=1- P(B)
定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称
P(AB)为事件A发生条件下，事件P(A)（12）条件概率
B发生的条件概率，记为P(B/A)?P(AB)。 P(A)（13）乘法公式 （14）独立
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1?P(B/A)=1-P(B/A) 乘法公式：P(AB)?P(A)P(B/A)
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有
P(A1A2…An)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2…An?1)。
①两个事件的独立性
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性
设事件A、B满足P(AB)?P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立，且P(A)?0，则有
若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。 必然事件?和不可能事件?与任何事件都相互独立。 ?与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 设事件B1,B2,?,Bn满足
1°B1,B2,?,Bn两两互不相容，P(Bi)?0(i?1,2,?,n)，
（15）全概公式
2°则有
nA??Bii?1，
P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)???P(Bn)P(A|Bn)。
设事件B1，B2，…，Bn及A满足
1° B1，B2，…，Bn两两互不相容，P(Bi)>0，i?1，2，…，n， 2° 则
（16）贝叶斯公式
nA??Bii?1，P(A)?0，
P(Bi/A)?P(Bi)P(A/Bi)?P(B)P(A/B)jjj?1n，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi)，（i?1，2，…，n），通常叫先验概率。P(Bi/A)，（i?1，2，…，n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由
果朔因”的推断。
我们作了n次试验，且满足
? 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； ? n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；
? 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否
是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。
用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1?p?q，用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0?k?n)次的概率，
（17）伯努
利概型
Pn(k)?Cnpkqn?kk，k?0,1,2,?,n。
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