发布时间 : 星期四 文章第1章 数学建模与误差分析更新完毕开始阅读11252316d4d8d15abe234ebb
??n?????x*???x?? （1.6.7） ???xi?????j?i????i?1?i?1??j?1????j?i??nn?n?n*和 ???xi????r?xi? （1.6.8）
?i?1?i?1*r因此，近似值之积的相对误差等于相乘各因子的相对误差的代数和。
?n?当乘数x的绝对值很大时，乘积的绝对值误差???xi?可能会很大，因此
?i?1?*i也应设法避免。
（3）除法运算
由（1.6.3）及（1.6.4）有
**?x1?1x1x1** ????*??x1???x?[?x???????x2?] （1.6.9）2r1r2**x2?x2?x2?x2??x?和 ?r*?1???r*?x1???r*?x2? （1.6.10）
x?2?由（1.6.10）可知，两近似值之商的相对误差等于被除数的相对误差与除数的相
对误差之差。
?x?*又由（1.6.9）可知，当除数x2的绝对值很小，接近于零时，商的绝对误差??1?
?x2?
可能会很大，甚至造成计算机的“溢出”错误，故应设法避免让绝对值太小的数作为除数。
（4）方及开方运算
由（1.6.3）及（1.6.4）有
??xp??p?x*?p?1??x? （1.6.11）
及 ?r*?xp??p?r*?x? （1.6.12） 由（1.6.12）可知，乘方运算将使结果的相对误差增大为原值x的p（乘方的方
1次数）倍，降低了精度；开方运算则使结果的相对误差缩小为原值x的（q为
q开方的方次数），精度得到提高。
综上分析可知，大小相近的同号数相减，乘数的绝对值很大，以及除数接近于零等，在数值计算中都应设法避免。
1.6.3 算式误差实例分析
应用上述误差估计的公式，可对例1.3.1中提出的各种算式作出误差估计和分析，从而可以比较出它们的优劣来。结果见表1.6.1。
表1.6.1 四种算式的误差比较表 序号 近似值 真 值 绝对误差 相对误差 7?1?0.4 51 2?1 0.0142 0.000955 -0.995 -0.00245 0.0355=3.55% 6×0.0355=21.3% -0.995=-99.5% -0.00589=-0.589% ?7???1??0.00409 ?5?2 6(2?1)6 99?702 1 2?1?1????2?1?699?70?7?1 517?153 6?0.416667 ???1??7??0.00523278 ??1??5? -0.000182 -6×0.00589=-3.53% 14 799?70?5?0.00507614 1 99?702-0.0000255 -0.0502=-0.502% 习 题1
1.下列各数都是对真值进行四舍五入后得到的近似值，试分别写出它们的绝对误差限，相对误差限和有效数字的位数：
*****（1）x1?8?105 ?0.024（2）x2?0.4135（3）x3?57.50（4）x4?60000（5）x5xn2.如用级数e??来求e?5的值，为使相对差?10?3，问至少需取几项？
n?0n!x?3.用观测恒星的方法求得某地纬度??45?0?2??（读到秒）， 问计算sin?将有多大误差？
4.正方形的边长约为100厘米，问测量时误差最多只能到多少，才能保证面积的误差不超过1平方厘米？
5. 已测得直角三角形的斜边c?58?0.2毫米，一直角边a?25?0.1毫米，如图所示。试计算?A的近似值，并估算出其绝对误差和相对误差限。
6.已知y?p(x)?x2?x?1150,x?100*,x?33 3?100?***计算y?P??及y?P?33?，并求x和y的相对误差。
?3?7.求方程x2?40x?1?0的两个根，使它们至少具有四位有效数字（已知。 399?19.975）
8.设近似数x*的绝对误差为?，当分别计算下列两式时，问误差对计算结果的影响如何？
x*??x*??（1）y1?， （2）y2?
10000.0019.下列各题怎样计算才合理（即计算结果的精度高）？ （1）1?cos1?（四位函数表求三角函数值）； （2）ln(30?302?1)（开方用六位函数表）；
1?cosx（其中充分小）； sinxN?1dx（4）?（其中N充分大）； 2N1?x（3）
10.下面计算y的公式中，哪一个算得更准确些？为什么？
11?x2x2?（1）已知x??1： (a)y?, (b)y?； 1?2x1?x(1?2x)(1?x)（2）已知x??1：(a) y?2?11?x?x??x??xx??，(b)y?x?11?x?； xx1?cos2x2sin2x（3）已知x??1：(a)y?，(b)y??；
xx（4）已知p?0,q?0,p??q：(a)y?q2(p?p2?q2)，(b)y??p?p2?q2； 11.设p?0,q?0,p??q，计算:y??p?p2?q2 算法(1)：s?p2,t?s?q,u?t,y??p?u;
q算法(2)：s?p2,t?s?q,u?t,v?p?u,y?.
v试分析上述两种算法的好坏。 12.用四位尾数浮点数计算?i?1201，要求分别按递增顺序和按递减顺序相加，所得2i结果不同，为什么？哪个更接近真值？