发布时间 : 星期三 文章勾股定理知识点、经典例题及练习题带答案更新完毕开始阅读116ed29d657d27284b73f242336c1eb91b3733c8
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【趣味链接】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2由弦图变化得到,它是用八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.若S1,S2,S3=10,则S2的值是多少呢?
【知识梳理】
1、勾股定理定义:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
B弦cAb股a勾C
勾:直角三角形较短的直角边 股:直角三角形较长的直角边 弦:斜边
勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有下面关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
2、勾股数:满足a2+b2=c2的三个正整数叫做勾股数(注意:若a,b,c、为勾股数,
那么ka,kb,kc同样也是勾股数组。)
*附:常见勾股数:3,4,5; 6,8,10; 9,12,15; 5,12,13
3、判断直角三角形:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ,那么这个三角形是
直角三角形。
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(经典直角三角形:勾三、股四、弦五)
其他方法:(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形。 (2)有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是:
(1)确定最大边(不妨设为c);
(2)若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的三角形; 若a2+b2<c2,则此三角形为钝角三角形(其中c为最大边); 若a2+b2>c2,则此三角形为锐角三角形(其中c为最大边)
4、注意:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边
的一半。
(3)在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边
所对的角等于30°。
5、勾股定理的作用:
(1)已知直角三角形的两边求第三边。 (2)已知直角三角形的一边,求另两边的关系。
(3)用于证明线段平方关系的问题。 (4)利用勾股定理,作出长为n的线段
【经典例题】【例1】(2016山东烟台)如图是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角
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形,两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道,则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心O为点)是( ) A.2m B.3m C.6m D.9m
【例2】(2016贵州贵阳)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP长不可
能是( ) A、3.5 B、4.2 C、5.8 D、7
【例3】(2016河北)如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=6,D,E分别在AB,AC上,将△ABC沿DE折叠,使点
A落在点A′处,若A′为CE的中点,则折痕DE的长为( )A.0.5 B.2 C.3 D.4
【例4】(2016重庆綦江)一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米,坡角
∠A=30°,∠B=90°,BC=6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE= 米时,有DC=AE+BC.
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【例5】(2016广东肇庆)在直角三角形ABC中,∠C = 90°,BC = 12,AC = 9,则AB= . 【例6】(2016贵州安顺)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C′点,那么△ADC′的面积是 .
【例7】(2016四川广安)某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造.测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形.求扩建后的等腰三角形花圃的周长. ..........
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【例8】(2016四川乐山)如图,在直角△ABC中,∠C=90,∠CAB的平分线AD交BC于D,若DE垂直平
分AB,求∠B的度数。
【例9】(2016山东枣庄)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,请按要求完成下列各题:(1)画线段AD∥BC且使AD =BC,连接CD;
(2)线段AC的长为 ,CD的长为 ,AD的长为 ; (3)△ACD为 三角形,四边形ABCD的面积为 ;
【例10】如图,AB为一棵大树,在树上距地面10m的D处有两只猴子,它们同时发现地面上的C处有一筐水果,一只猴子从D处上爬到树顶A处,利用拉在A处的滑绳AC,滑到C处,另一只猴子从D处滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经路程都是15m,求树高AB.
【课堂练习】1、(2016湖北黄石)将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿