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宜宾市翠屏区龙凤教育培训学校 主讲人：杨老师
指数函数及其性质
本节主要学习分数指数幂与指数函数．
1．理解有理数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质． 在初中我们学习了正整数指数幂的意义：一个数a的n次幂表示n个a相乘的积．正整数指数幂有五条运算性质：
（1）aman＝am＋n；（2）am÷an＝am－n（a≠0，m＞n）；（3）（am）n＝amn；
anan （4）（ab）＝ab；（5）（）＝n若（b≠0）．
bbn
nn
另外规定了a0＝1（a≠0）、a－n＝
1（n为正整数，a≠0），这样一来，原来的5条运算律na可以归纳为（1）（3）（4）三条，同时将指数幂的概念扩大到了整数． 2．分数指数幂的引进是受根式的性质的启发．
从根式的基本性质npamp＝nam（a≥0，m、n、p?N*）， 我们知道a≥0时，a＝a＝a，
mn63
623a＝a＝a．于是我们规定：
124
123 （1）a＝nam（a≥0，m、n?N*）； （2）a－mn＝
1amn（a＞0，m、n?N*，n＞1）；
（3）零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义．
这样一来，我们就将指数幂的概念扩大到有理数指数幂了，有理数幂的运算性质归纳为： （1）aras＝ars；（2）（ar）s＝ars；
＋
（3）（ab）r＝arbr，式中a＞0，b＞0，r、s为有理数．
3．理解指数函数的概念和意义．在指数函数的定义中限定了底数a＞0且a≠1，这主要是使函数的定义域为实数集，且具有单调性．
（1）若a＝0，当x＞0时，ax＝0；当x≤0时，ax没有意义； （2）若a＜0，如y＝（－2）x对于x＝
13、等都是没有意义的； 24 （3）若a＝1，则函数为y＝1x＝1是一个常数函数，它的性质没有研究的必要，且不具有
1 教师寄语：亲爱的同学，学习路上雷厉风行，没有什么不可能，老师相信你能行的，祝你学习轻松愉快！
电话：0831-3052838 3556726 5195553 地址：翠屏区上江北红丰东路20号地财大厦二楼
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单调性．
4．在方法上，要体现“形”与“数”的结合，要重视指数函数的实际背景，会利用指数函数的有界性解题．
【问题1】在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：
11 ①y＝2x；②y＝5x；③y＝（）x；④y＝（）x．
52 观察四个函数图象，看它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？
思路：指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）恒过两个点（0，1）和（1，a）．这四个函数都经过
11（0，1），又分别经过（1，2）、（1，5）、（1，）、（1，）．再由函数的单调性就可以画出四
52个函数的大致图象（如下图）．根据图象可知函数①与④，②与③分别关于y轴对称．
结论：（1）一般地，指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）与y＝ax（a＞0且a≠1）的图象关于
－
y轴对称．
（2）在y轴的右侧，由下向上函数图象相应的底数由小变大（可简记为“右侧底大图高”）；在y轴的左侧，由上向下图象相应的底数由小变大（简记为“左侧底大图低”）．
（3）（有界性）若a＞1，当x＞0时，y＞1当x＜0时，0＜y＜1．若0＜a＜1，当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1．
在本小节的学习过程中，我们应该从下面几个方面去掌握知识，提高能力． 1．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质完全相同．正整数指数幂的五条运算性质可以归结为以下三条： ①ar·as＝ar＋s；②（ar）s＝ars；③（ab）r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，s?Q．
这三条运算性质对于r，s?R也成立，我们要记准公式，不仅会直接使用，更要会准确地逆用、活用．
2．对根式的学习，要注意与所学过的平方根、立方根的概念以及二次根式、三次根式的性质进行类比，有利于我们正确地理解n次方根的概念以及n次根式的性质；要能够灵活地将分数指数幂与根式相互转化．
2 教师寄语：亲爱的同学，学习路上雷厉风行，没有什么不可能，老师相信你能行的，祝你学习轻松愉快！
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3．在指数函数的概念中，对底数a＞0且a≠1的规定是为了使函数的定义域为实数集且具有单调性．运用指数函数性质解题时要注意对底数a的分类讨论，注意函数有界性的运用． 4．在本节的学习过程中，要学会正确处理由指数函数与其他函数构成的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等问题，注意分类讨论、换元法、数形结合等数学思想方法的运用． 5．在解决简单的实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 【例1】化简下列各式： （1）(0.0081)431－470－13－3－2－0.25
－［3×（）］·［81＋(3)］－10×0.0273；
8813111 （2）
a－8ab4b＋23ab＋a2323÷（1－23b）×3ab． a 思路：此类问题的化简需要先将小数化为分数，根式化为分数指数幂，结果要化为最简形式．在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式．如a23b，
ab－2都不是最简形式．我们经常要用到下列公式：
①a－b＝（a－b）（a＋b）； ②a±2ab＋b＝（a±b）2；
③a±b＝（3a±3b）（3a2＋3ab＋3b2）．
2－2101 答案：（1）原式＝0.3－3·（3＋）－10×0.3＝－－3＝0；
333－1
－1
－1
1 （2）原式＝
a(a－8b)(2b)＋2bb＋(a)2131321313132×
a131313a－2ba(a－8b)×ab＝×a3×a3b3＝a3b．
(a－8b)131313111 【例2】设yl＝a3x－1，y2＝ax＋x－4（a＞0，a≠1），确定x为何值时有（1）y1＝y2；（2）y1＞y2．
思路：显然需对a进行分类讨论，分别解指数方程和指数不等式．
答案：（1）由题意得a3x－1＝ax＋x－4，则3x－1＝x2＋x－4，解得x＝3或x＝－1． （2）当a＞1时，a3x－1＞ax＋x－4，则3x－1＞x2＋x－4，解得－1＜x＜3；
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当0＜a＜1时，ax＋x－4＜a3x－1，则3x－1＜x2＋x－4，解得x＜－1或x＞3． 【例3】比较下列各数的大小：
213－132－ ①(－2)；②()2；③(－)5；④(－)3；⑤(－)5．
32232254 思路：先利用分数指数幂的性质对各个数进行化简，
23－1332－2 ①(－2)＝2；②()2＝()；③(－)5＝()5；
22232525121122 ④(－)3＝－；⑤(－)5＝()5
327331 显然，以0、1为界将五个数分成三类：①(－2)＞1，④(－)3＜0，②③⑤三个数均在0
325442到1之间，注意到这三个数的底数相同，考查指数函数，y＝()x在实数集上递减，所以③＞②
3＞⑤．
213－53－12 答案：(－2)＞(－)＞()2＞(－)5＞(－)3．
3223254 点评：比较幂的大小是典型的一类问题．解决这类问题一般用如下思路： （1）将两个数化成同底数幂的形式，再利用指数函数的单调性进行比较．
（2）将两个数化成同指数幂的形式，再利用指数函数图象在y轴的右侧“右侧底大图高”；在y轴的左侧“左侧底大图低”．
（3）寻找一个恰当的中间数为桥梁来进行比较．如比较0.40.8与0.50.7，我们可以以0.40.7为中间数，0.40.8与0.40.7利用指数函数的单调性进行比较，得0.40.8＜0.40.7，而0.40.7与0.50.7由“右侧底大图高”得0.40.7＜0.50.7，因此0.40.8＜0.50.7；再如本题是先以0、1为桥梁将五个数分成三类的． 新题解答
12 【例1】对于函数y＝()x－2x－1，（1）求函数的定义域，值域；
3 （2）确定函数的单调区间．
121 解析：函数y＝()x－2x－1可以看成是由函数u＝x2－2x－1与函数y＝()u“复合”而成．
334 教师寄语：亲爱的同学，学习路上雷厉风行，没有什么不可能，老师相信你能行的，祝你学习轻松愉快！
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