发布时间 : 星期四 文章2019-2020学年新教材高中数学 模块综合检测 新人教A版必修第二册更新完毕开始阅读11a25e2b356baf1ffc4ffe4733687e21af45ffd3
14．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．
解析：设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1，2，3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，
P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A1A2A3∪A123
－－
AA发生，故所求概率为P＝P(A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3)
－－
＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)
－－
＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)·P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.6×0.5＋
－－
0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.
答案：0.46
15．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为________．
解析：连接A1B.因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝22，
BC＝2.又AB⊥BC，则AB＝2，则该三棱柱的侧面积为22×2＋2×2＝4＋42.
答案：4＋42
16．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上的动→→→→
点Q(包含点B)满足|DP|＝|BQ|，则PA·PQ的最小值为________．
解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
→→
设P(x，1)，Q(2，y)，由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0.因为|DP|＝|BQ|， 所以|x|＝|y|，所以x＝－y.
→→
因为PA＝(－x，－1)，PQ＝(2－x，y－1)，
1?23→→?22
所以PA·PQ＝－x(2－x)－(y－1)＝x－2x－y＋1＝x－x＋1＝?x－?＋，
?2?413→→
所以当x＝时，PA·PQ取得最小值为.
243
答案： 4
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知a，b，c是同一平面的三个向量，其中a＝(1，3)． (1)若|c|＝4，且c∥a，求c的坐标；
?5?(2)若|b|＝1，且(a＋b)⊥?a－b?，求a与b的夹角θ. ?2?
解：(1)因为c∥a，所以存在实数λ(λ∈R)，使得c＝λa＝(λ，3λ)， 又|c|＝4，即λ＋3λ＝4，解得λ＝±2. 所以c＝(2，23)或c＝(－2，－23)．
3523?5?所以(a＋b)·?a－5b?＝0，2
(2)因为(a＋b)⊥?a－b?，即a－a·b－b＝0，所以4－×??222?2??2?5
2×1×cos θ－＝0，
2
1
所以cos θ＝，
2
π
因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 3
π
18．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝，a＝2，
6△ABC的面积为3，F为边AC上一点．
(1)求c；
(2)若CF＝2BF，求sin∠BFC.
11π2
解：(1)因为S△ABC＝ab sin C＝×2b×sin ＝3，所以b＝23.由余弦定理可得c226π22
＝a＋b－2ab cos C＝4＋12－2×2×23×cos ＝4，所以c＝2.
6
π2π
(2)由(1)得a＝c＝2，所以A＝C＝，∠ABC＝π－A－C＝. 63
2
2
在△BCF中由正弦定理得＝2BF，所以
sin∠CBF＝
2， 2
＝sin∠CBFsin∠BCFCFBFπ
sin ·CF6
，所以sin∠CBF＝.又因为CFBF2ππ
又因为∠CBF≤，所以∠CBF＝，
34所以sin ∠BFC＝sin(∠CBF＋∠BCF)＝ 2＋6?ππ?sin?＋?＝. 4?46?
19．(本小题满分12分)如图所示，凸多面体ABCED中，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，
AC＝AD＝AB＝1，BC＝2，CE＝2，F为BC的中点．
(1)求证：AF∥平面BDE； (2)求证：平面BDE⊥平面BCE.
证明：(1)取BE的中点G，连接GF，GD，因为AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，所以AD∥EC，1
且平面ABC⊥平面ACED.因为GF为三角形BCE的中位线，所以GF∥EC∥DA，GF＝CE＝DA＝1.
2
所以四边形GFAD为平行四边形，
所以AF∥GD，又GD?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE.
(2)因为AC＝AB＝1，BC＝2， 所以AC＋AB＝BC， 所以AB⊥AC.
所以F为BC的中点，所以AF⊥BC.又GF⊥AF，BC∩GF＝F，所以AF⊥平面BCE.
2
2
2
因为AF∥GD，所以GD⊥平面BCE.又GD?平面BDE， 所以平面BDE⊥平面BCE.
20．(本小题满分12分)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
商品 顾客人数 100 217 200 300 85 98 (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以200顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.
1 000
(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．
100＋200
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.
1 000200
(3)法一：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概
1 000100＋200＋300100
率可以估计为＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.
1 0001 000
所以如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
法二：从统计表可以看出，同时购买了甲和乙的顾客，也都购买了丙；同时购买了甲和丁的顾客，也都购买了丙；有些顾客同时购买了甲和丙，却没有购买乙或丁．
所以，如果顾客购买了甲，那么该顾客同时购买丙的可能性最大．
21．(本小题满分12分)为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组，第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第1组有5人．
甲 √ × √ √ √ × 乙 × √ √ × × √ 丙 √ × √ √ × × 丁 √ √ × × × ×