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第7章 连续时间系统的频域分析
7.1 学习要点
1 频率响应的定义
频率响应可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j?)与激励的傅里叶变换F(j?)def之比，即H(j?)?Y(j?)F(j?)。
j???H(j?)可写为：H(j?)?H(j?)e?,其中，H(j?)是输出与输入信号的幅度
之比，称为幅频特性（或幅频响应）；?(?)是输出与输入信号的相位差，称为相频特性（或相频响应）。
2虚指数信号通过线性系统
假设一个单位冲激响应为h(t)的线性时不变系统，若有激励信号
f(t)?ej?t ???t??
则系统的零状态响应为：
j?t
yf(t)?H(j?)e
j?t所以，当虚指数信号ej?t通过线性系统时，其零状态响应就是用e乘以H(j?)。
3 正弦信号通过线性系统
若线性系统的激励为正弦信号
f(t)?Acos?t?A2(ej?t?e?j?t) ???t??
则系统的零状态响应为：
yf(t)?A2H(j?)(ej?t?e?j?t)?AH(j?)cos??t??(?)?
所以，线性系统对正弦激励的响应为与激励同频率的正弦量，其振幅为激励的振幅与
H(j?)模值的乘积，其相位为激励的初相位与H(j?)相位的和。
4 非正弦周期信号通过线性系统
周期为T的非正弦周期信号f(t)可展开为：
?f(t)??n???Fnejn?t
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式中，
Fn?1TT?22?Tf(t)e?jn?tdt
则线性系统对该信号的零状态响应为：
?yf(t)??n????FnH(jn?)ejn?t
??n???FnH(jn?)ej?n?t??(n?)??(n?)?
??F0??2Fn?1nH(jn?)cos?n?t??(n?)??(n?)?
式中，Fn?Fnej?(n?)，H(jn?)?H(jn?)ej?(n?) 。
所以，当周期信号f(t)作用于线性系统时，其零状态响应仍为周期信号，且周期和激励信号的周期相同。
5 非周期信号激励下系统的响应
当线性时不变系统的单位冲激响应为h(t)，激励为f(t)时，系统的零状态响应为：
y(t)?f(t)*h(t)
对上式两端进行傅里叶变换，并利用时域卷积定理可得：
Y(j?)?F(j?)H(j?)
即系统零状态响应的频谱函数等于系统的频率响应函数与激励的频谱函数之乘积。在求得
Y(j?)后，可利用傅里叶反变换求得系统的时域响应。
6 系统实现无失真传输的条件：
（1）系统在全部频率范围(??,??)内为常数，即系统的通频带应为无穷大； （2）系统的相频特性应为通过原点的直线，即?(?)在整个频率范围内与?成正比。
设输入信号为f(t)，那么经过无失真传输，输出信号应该为：y(t)?Kf(t?td)，即输出信号的幅度是输入信号幅度的K倍，而且比输入信号延时了td秒。其幅频响应和相频响应分别为：
H(j?)?K??
?(?)???td?信号通过系统的延时为：
td??d?(?)d?
7 理想低通滤波器的定义
具有图7-1所示幅频和相频特性的滤波器称为理想低通滤波器。
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H(j?)K??c0?c?(?)?
图7-1 理想低通滤波器的幅频特性和相频特性
可见，该滤波器对低于?c的频率成分不失真地全部通过，而对高于?c的频率成分完全抑制掉，称?c为截止角频率。所以，???c的频率范围称为通带；???c的频率范围称为阻带。理想低通滤波器的频率响应函数为：
?j?td????c?KeH(j?)??
0????c?8 理想低通滤波器的冲激响应
理想低通滤波器的冲激响应为：
h(t)??cK?Sa[?c(t?td)]
取k?1，其波形如图7-2所示。
?h(t)?cSa[?c(t?td)]??c?0tdt图7-2 理想低通滤波器的冲激响应
由图7-2可知，冲激响应h(t)的波形不同于激励信号?(t)的波形，产生了严重失真。另外，冲激响应h(t)在t?0的时候存在，这说明理想低通滤波器是一个非因果系统，是物理不可实现的系统。
9 理想低通滤波器的阶跃响应
理想低通滤波器的阶跃响应为：
g(t)?K2?K?Si[?c(t?td)]
取k?1，g(t)的波形如图7-3所示。
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g(t)?11211?Si[?c(t?td)]2?tr0td图7-3 理想低通滤波器的阶跃响应
t
由图7-3可知，理想低通滤波器的阶跃响应不像阶跃信号那样陡直上升，这表明阶跃响应的建立需要一段时间；同时波形出现过冲激振荡，这是由于理想低通滤波器是一个带限系统所引起的。
7.2 精选例题
例1 已知一个连续LTI系统可用号作用下的输出y(t)： （1）f(t)?eu(t)
?tdy(t)dt?2y(t)?f(t)描述，利用傅里叶变换求下列输入信
（2）f(t)?u(t)
解：对微分方程求傅里叶变换，得：
j?Y(j?)?2Y(j?)?F(j?)
频率响应为：
H(j?)?Y(j?)F(j?)?12?j?
（1）输入f(t)?eu(t)，其傅里叶变换为F(j?)??t11?j?1，
Y(j?)?F(j?)H(j?)?11?j??2?j?
求其反变换可得y(t)?(e?t?e?2t)u(t)。
1j?（2）输入f(t)?u(t)，其傅里叶变换为F(j?)???(?)?，
?1?11?Y(j?)?F(j?)H(j?)????(?)???????j?2?j?2????1????j????11??? ??22?j??? 173