发布时间 : 星期一 文章人教版2020高考数学二轮复习专题一三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形练习更新完毕开始阅读11e2fe32864769eae009581b6bd97f192279bf21
考法1 利用正(余)弦定理进行边角计算
【例2－1】 (2018·潍坊一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos
B＋bcos A＝0.
(1)求B；
(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋23，求△ABC的面积. 解 (1)由已知及正弦定理得
(sin A＋2sin C)cos B＋sin Bcos A＝0， (sin Acos B＋sin Bcos A)＋2sin Ccos B＝0， sin(A＋B)＋2sin Ccos B＝0，
又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0， 12∴cos B＝－，∵0 23(2)由余弦定理，得9＝a＋c－2accos B. ∴a＋c＋ac＝9，则(a＋c)－ac＝9. ∵a＋b＋c＝3＋23，∴a＋c＝23， 11333 ∴ac＝3，∴S△ABC＝acsin B＝×3×＝. 2224 33 【迁移探究1】 若本题第(2)问条件变为“若b＝3，S△ABC＝”，试求a＋c的值. 4133 解 由S△ABC＝ac·sin B＝， 241333 ∴ac·＝，则ac＝3. 224 由余弦定理，得b＝a＋c－2accos B＝(a＋c)－ac， 所以(a＋c)＝b＋ac＝9＋3＝12，故a＋c＝23. 【迁移探究2】 在第(2)问中，保留条件b＝3，删去“条件△ABC的周长为3＋23”，试求△ABC面积的最大值. 解 由b＝a＋c－2accos B＝a＋c－ac， 则9＝a＋c－ac≥2ac－ac＝ac， 所以ac≤9(当且仅当a＝c＝3时，取等号)， 112π93故S△ABC＝acsin B≤×9sin＝， 2234所以△ABC面积的最大值为 93 . 4 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 5 探究提高 1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形. 2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口. 【训练2】 (2017·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋ C)＝8sin2B2 . (1)求cos B； (2)若a＋c＝6，△ABC面积为2，求b. 解 (1)由题设及A＋B＋C＝π，得sin B＝8sin2 B2， 故sin B＝4(1－cos B). 上式两边平方，整理得17cos2 B－32cos B＋15＝0， 解得cos B＝1(舍去)，cos B＝15 17 . (2)由cos B＝158 17及B为三角形一内角，得sin B＝17， 故S14 △ABC＝2acsin B＝17ac. 又S17 △ABC＝2，则ac＝2. 由余弦定理及a＋c＝6得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B) ＝36－2×17?15? 2×??1＋17??＝4. 所以b＝2. 考法2 应用正、余弦定理解决实际问题 【例2－2】 (2018·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中 6 A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测 得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为( ) A.210(6＋2)米 B.1406米 C.2102米 D.20(6－2)米 2 2 2 解析 由题意，设AC＝x米，则BC＝(x－40)米，在△ABC内，由余弦定理：BC＝BA＋CA－2BA·CA·cos∠BAC，即(x－40)＝x＋10 000－100x，解得x＝420(米). 在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°， 2 2 CHACsin∠CAH由正弦定理：＝.可得CH＝AC·＝1406(米). sin∠CAHsin∠AHCsin∠AHC答案 B 探究提高 1.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解. 2.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解. 【训练3】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m. 解析 由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°. 600BC又AB＝600 m，故由正弦定理得＝， sin 45°sin 30°解得BC＝3002(m). 在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×答案 1006 热点三 与解三角形有关的创新交汇问题 【例3】 (2018·郑州质检)已知向量m＝(2sin ωx，cosωx－sinωx)，n＝(3cos ωx，1)，其中ω＞0，x∈R.若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π. 2 2 3 ＝1006(m). 3 7 (1)求ω的值； →→ (2)在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝3，sin B＝3sin A，求BA·BC的值. 解 (1)f(x)＝m·n＝23sin ωxcos ωx＋cosωx－sinωx＝3sin 2ωx＋cos 2ωx＝π??2sin?2ωx＋?. 6?? 2π 因为f(x)的最小正周期为π，所以T＝＝π. 2|ω|又ω＞0，所以ω＝1. π??(2)由(1)知f(x)＝2sin?2x＋?. 6?? 设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c. π??因为f(B)＝－2，所以2sin?2B＋?＝－2， 6??π?2π?即sin?2B＋?＝－1，由于0 331 由正弦定理，有＝，解得sin A＝. sin A2π2 sin 3ππ 由于0＜A＜，解得A＝. 36π 所以C＝，所以c＝a＝3. 6 2π3→→ 所以BA·BC＝cacos B＝3×3×cos ＝－. 32 探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化. 2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解. 【训练4】 已知函数f(x)＝sinx－cosx＋23sin xcos x(x∈R). (1)求f(x)的最小正周期； 1 (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，c＝5，cos B＝，求△ABC7 2 2 2 2 8