发布时间 : 星期二 文章人教版2020高考数学二轮复习专题一三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形练习更新完毕开始阅读11e2fe32864769eae009581b6bd97f192279bf21
中线AD的长.
π??解 (1)f(x)＝－cos 2x＋3sin 2x＝2sin?2x－?. 6??2π
∴T＝＝π.∴函数f(x)的最小正周期为π.
2π??(2)由(1)知f(x)＝2sin?2x－?， 6??π??∵在△ABC中f(A)＝2，∴sin?2A－?＝1，
6??
πππ143
∴2A－＝，∴A＝.又cos B＝，∴sin B＝，
62377∴sin C＝sin(A＋B)＝
3114353
×＋×＝， 272714
在△ABC中，由正弦定理
csin Csin A＝
a，得
553
14
＝
a， 32
7
∴a＝7，∴BD＝，在△ABD中，由余弦定理得，
2
7?271129129?AD＝AB＋BD－2AB·BDcos B＝5＋??－2×5××＝，∴AD＝.
2742?2?
2
2
2
2
1.对于三角函数的求值，需关注：
(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；
(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.
2.三角形中判断边、角关系的具体方法：
(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.
3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S＝
1
2
absin C来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.
9
一、选择题
1
1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝，则cos 2α＝( )
38A. 97C.－
9
2
7B. 98D.－ 9
?1?72
解析 cos 2α＝1－2sinα＝1－2×??＝. ?3?9
答案 B
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a＝2b(1－sin A)，则A＝( ) 3
A.π 4
B.π 3
C.π 4
D.π 6
2
2
b2＋c2－a22b2－2b2（1－sin A）π
解析 由已知得cos A＝＝＝sin A.在△ABC中，A＝. 2
2bc2b4
答案 C
3.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为则C＝( ) π
A. 2
B.π 3
2
2
2
a2＋b2－c2
4
，
C.
π 4
D.
π 6
1a＋b－c1222
解析 因为S△ABC＝absin C，所以＝absin C.由余弦定理a＋b－c＝2abcos C，
242π
得2abcos C＝2absin C，即cos C＝sin C.所以在△ABC中，C＝. 4答案 C
4.(2018·合肥质检)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝＋acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为( ) A.4π
B.8π
C.9π
D.36π
22
，bcos A3
解析 由题意及正弦定理得2Rsin Bcos A＋2Rsin Acos B＝2Rsin(A＋B)＝2(R为△ABC的221
外接圆半径).即2Rsin C＝2.又cos C＝及C∈(0，π)，知sin C＝.
33∴2R＝
22
＝6，R＝3.故△ABC外接圆面积S＝πR＝9π. sin C答案 C
10
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是( ) A.a＝2b C.A＝2B
B.b＝2a D.B＝2A
解析 等式右边＝2sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin(A＋C)＝sinAcos C＋sin B. 等式左边＝2sin Bcos C＋sin B，
则2sin Bcos C＋sin B＝sin Acos C＋sin B， 因为角C为锐角三角形的内角，所以cos C不为0. 所以2sin B＝sin A，根据正弦定理，得a＝2b. 答案 A 二、填空题
6.(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
解析 ∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， ∴sinα＋cosβ＋2sin αcos β＝1，① cosα＋sinβ＋2cos αsin β＝0，② ①＋②，得
sinα＋cosα＋sinβ＋cosβ＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1， 1
∴sin(α＋β)＝－. 21
答案 － 2
7.(2018·东北三省四校模拟)已知角α的终边经过点P(4a，3a)(a<0)，则25sin α－7tan 2α的值为________.
3a33a3解析 由题意知tan α＝＝，sin α＝＝－. 4a45|a|52tan α∴tan 2α＝＝2
1－tanα24＝， 73??1－???4?
2
2
2
2
2
2
2
2
2
32×4
24?3?∴25sin α－7tan 2α＝25×?－?－7×＝－39. 7?5?答案 －39
8.(2018·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝
11
4asin Bsin C，b＋c－a＝8，则△ABC的面积为________.
解析 由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，1b＋c－a83
因为sin Bsin C≠0，所以sin A＝.因为b2＋c2－a2＝8，所以cos A＝＝＝，
2
2
2
222
22bc2bc所以bc＝833.所以S1183123
△ABC＝2bcsin A＝2×3×2＝3. 答案
233
三、解答题
9.(2018·济南二模)在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝23，→AM＝→
MC. (1)求BM的长；
(2)设D是平面ABC内一动点，且满足∠BDM＝2π1
3，求BD＋2MD的取值范围.
解 (1)在△ABC中，AB2
＝AC2
＋BC2
－2AC·BC·cos C， 代入数据，得cos C＝－1
2. ∵→AM＝→MC， ∴CM＝MA＝1
2
AC＝1.
在△CBM中，由余弦定理知：
BM2＝CM2＋CB2－2CM·CB·cos C＝7，
所以BM＝7.
(2)设∠MBD＝θ，则∠DMB＝
π3－θ，θ∈??π?
0，3???.
在△BDM中，由正弦定理知： BDMDBM27.
sin??π＝－θ??sin θ＝＝
sin2π3
?3?
3∴BD＝273sin??π?3－θ???，MD＝273sin θ，
∴BD＋127?π?72MD＝3sin??3－θ??＋3
sin θ
＝
7
3
(3cos θ－sin θ＋sin θ)＝7cos θ， 212