发布时间 : 星期四 文章2015-2016学年江苏省南师附中、淮阴、天一、海门四校高三（下）2月联考数学试卷（解析版）更新完毕开始阅读120c81f1f80f76c66137ee06eff9aef8941e488a
∴△AOD∽△COB， ∴
，
，
又PE=2ED，即
∴OE∥PB，
∵OE?平面EAC，PB?平面EAC， ∴PB∥平面AEC．
【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．
17．（14分）（2016秋?广东校级月考）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
=1（a＞b＞0）的离心
率e=，且点P（2，1）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点A、B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP（不包括端点）上． ①求直线AB的斜率；
②求△AOB面积的最大值． 【分析】（1）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，相减，再由中点坐标公式和直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求值；
②设出直线AB的方程：y=﹣x+t，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，运用基本不等式即可得到最大值． 【解答】解：（1）离心率e==由P代入椭圆方程，可得又a﹣b=c， 解得a=，b=c=即有椭圆方程为
+
2
2
2
， =1，
+
， =1；
（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），
2222
可得x1+2y1=6，x2+2y2=6， 相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）+2（y1﹣y2）（y1+y2）=0， 由题意可得kOM=kOP=，
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即为=，
可得直线AB的斜率为=﹣=﹣×2=﹣1；
②设直线AB的方程为y=﹣x+t，
22
代入椭圆方程可得，3x﹣4tx+2t﹣6=0，
22
由△=16t﹣12（2t﹣6）＞0，解得﹣3＜t＜3， x1+x2=
，x1x2=
，
|AB|=?=?
=，
，
又O到AB的距离为d=
即有△AOB面积为S=|AB|d=
2
2
≤?=，
当且仅当t=9﹣t，即t=±时，S取得最大值．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 18．（16分）（2016春?海门市校级月考）如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头，Q为海中一小岛，在水上旅游线AB上，测得tan∠MON=﹣3，OA=6km，Q到海岸线OM、ON的距离分别为2km，（1）求水上旅游线AB的长；
（2）海中P（PQ=6km，且PQ⊥OM）处的某试验产生强水波圆P．生成t小时的半径为r=6若与此同时，一艘游轮以18
t
km，km．
km/小时的速度自码头A开往码头B，试研究强水波是否波及游轮的航行？
【分析】（1）利用△AOB的面积列出等式求出OB，然后使用余弦定理求出AB；
（2）求出AP，∠PAQ，假设航行t小时候到达D点，使用余弦定理求出PD，比较PD与r的大小关系即可判断强水波是否波及航行．
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【解答】解：（1）连结OQ，则S△OAQ=∵tan∠MON=﹣3，∴sin∠MON=
AOB=
2=6，S△OBQ=
．cos∠MON=﹣
，∴S△
=OB．
=
OB=
OB．∴OB=3
OB． ． =
=9
． ，即
，∴sinA=
．
∴6+∴AB=
（2）在△ABO中，由正弦定理得
延长PQ交OA于C，连结AP，则QC=2，AQ=2AQP=∴AP=∵
．
=2
，∴sin∠PAQ=
．
，cos∠AQP=﹣cos∠AQC=﹣sinA=﹣．∴sin∠
．∴cos∠PAQ=
，AD=18
．
2
． t，
假设t小时候游轮航行到D处，连结PD，则0≤t∴PD=
2
2
2
=
3
令f（t）=PD﹣r=648t﹣360t+68﹣216t，则f′（t）=﹣648t﹣1296t﹣360， 令f′（t）=0解得t=或t=（舍）． 当
时，f′（t）＜0，当＜t
2
2
时，f′（t）＞0，
∴fmin（t）=f（）=12＞0．∴PD﹣r＞0，即PD＞r恒成立． ∴强水波不会波及游轮的航行．
【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，函数值的大小比较，属于中档题．
19．（16分）（2016春?海门市校级月考）设a，b∈R，函数f（x）=e﹣alnx﹣a，其中e是自然对数的底数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（e﹣1）x﹣y+b=0． （1）求实数a，b的值；
（2）求证：函数y=f（x）存在极小值；
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x
（3）若?x∈[，+∞），使得不等式﹣lnx﹣≤0成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极小值，从而证出结论；
（3）问题等价于?x∈[，+∞），使得不等式m≥e﹣xlnx成立，令h（x）=e﹣xlnx，x∈[，+∞），则h′（x）=e﹣lnx﹣1=f（x），由此利用导性质能求出实数m的取值范围． 【解答】解：（1）∵f′（x）=e﹣，∴f′（1）=e﹣a，
x
x
x
x
由题意得：，
解得；
x
证明：（2）由（1）f（x）=e﹣lnx﹣1， f′（x）=e﹣（x＞0），f″（x）=e+∴f′（x）在（0，+∞）递增，
∵f′（）＜0，f′（1）＞0，f′（x）在（0，+∞）连续， ∴?x0∈（，1），使得f′（x0）=0，
∴函数f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增， ∴f（x）存在最小值f（x0）； 解：（3）?x∈[，+∞），使得不等式
﹣lnx﹣≤0成立，
x
x
x
＞0，
等价于?x∈[，+∞），使得不等式m≥e﹣xlnx成立（*）， 令h（x）=e﹣xlnx，x∈[，+∞），
则h′（x）=e﹣lnx﹣1=f（x），
∴结合（2）得：[h′（x）]min=f（x0）=ex0﹣lnx0﹣1， 其中x0∈（，1），满足f′（x0）=0，即ex0﹣∴ex0=
，x0=﹣lnx0，
=0，
xx
∴[h′（x）]min=ex0﹣lnx0﹣1=+x0﹣1＞2
﹣1=1＞0，
∴x∈[，+∞），h′（x）＞0， ∴h（x）在[，+∞）内单调递增，
∴[h（x）]min=h（）=
﹣ln=+ln2，
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