发布时间 : 星期一 文章[新]版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.5简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦余弦和正更新完毕开始阅读126c43e826284b73f242336c1eb91a37f111328b
小中高 精品 教案 试卷
第四章 三角函数、解三角形 4.5 简单的三角恒等变换 第1课时 两
角和与差的正弦、余弦和正切公式教师用书 理 新人教版
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，(C(α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，(C(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，(S(α－β)) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(S(α＋β)) tan α－tan β
tan(α－β)＝，(T(α－β))
1＋tan αtan βtan α＋tan β
tan(α＋β)＝.(T(α＋β))
1－tan αtan β2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα； 2tan α
tan 2α＝. 21－tanα
【知识拓展】
1＋cos 2α1－cos 2α22
1．降幂公式：cosα＝，sinα＝. 222．升幂公式：1＋cos 2α＝2cosα，1－cos 2α＝2sinα.
3．辅助角公式：asin x＋bcos x＝a＋bsin(x＋φ)，其中sin φ＝
2
2
2
2
2
2
2
2
ba＋b2
2
，cos φ＝
aa2＋b2
. 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．( × )
1
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(3)若α＋β＝45°，则tan α＋tan β＝1－tan αtan β.( √ ) αα2
(4)对任意角α都有1＋sin α＝(sin ＋cos ).( √ )
22(5)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.( × )
(6)在非直角三角形中，tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C．( √ )
1．(教材改编)sin 18°cos 27°＋cos 18°sin 27°的值是( ) A.2
23 2
1B. 2D．－2 2
C.
答案 A
解析 sin 18°cos 27°＋cos 18°sin 27°＝sin(18°＋27°)＝sin 45°＝cos 40°
2．化简等于( )
cos 25°1－sin 40°A．1 B.3 C.2 D．2 答案 C
cos 40°
解析 原式＝
cos 25°1－cos 50°＝
cos 40°＝＝2.
cos 25°·2sin 25°2
sin 50°2
cos 40°
2. 2
sin α＋cos α13．若＝，则tan 2α等于( )
sin α－cos α23344A．－ B. C．－ D.
4433答案 B
sin α＋cos α1tan α＋11解析 由＝，等式左边分子、分母同除cos α，得＝，解得tan
sin α－cos α2tan α－12α＝－3，
2tan α3
则tan 2α＝＝. 2
1－tanα4
4．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ . 答案
3
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tan 20°＋tan 40°
解析 ∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，
1－tan 20°tan 40°∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°，
∴原式＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝3.
5．(2016·浙江)已知2cosx＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝ ，b＝ . 答案
2 1
2
2
解析 ∵2cosx＋sin 2x＝cos 2x＋1＋sin 2x ＝2?
π?2?2??
cos 2x＋sin 2x?＋1＝2sin?2x＋4?＋1
??2?2?
＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，∴A＝2，b＝1.
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
题型一 和差公式的直接应用
3π
例1 (1)(2016·广州模拟)已知sin α＝，α∈(，π)，则
52
cos 2α2
π
α＋
4
＝ .
(2)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为( ) A．－2 2
B.2 2
1C. 2
7
答案 (1)－ (2)B
5解析 (1)
2cos 2α
πα＋
4
＝2
1D．－
2
cosα－sinα22
sin α＋cos α22
22
＝cos α－sin α，
3π
∵sin α＝，α∈(，π)，
5247
∴cos α＝－，∴原式＝－.
55(2)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，
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可得tan A＋tan B1－tan Atan B＝－1，即tan(A＋B)＝－1，
又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝3π
4，
则C＝π24，cos C＝2
. 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
(1)(2016·全国丙卷)若tan α＝34
，则cos2
α＋2sin 2α等于( )
A.6425 B.4825 C．1 D.1625
(2)计算sin 110°sin 20°cos2155°－sin2
155°的值为( ) A．－12 B.12 C.32
D．－32
答案 (1)A (2)B
2
解析 (1)tan α＝34，则cos2
α＋2sin 2α＝cosα＋2sin 2αcos2α＋sin2
α ＝
1＋4tan α641＋tan2α＝25
. (2)sin 110°sin 20°sin 70°sin 20°cos2155°－sin2
155°＝cos 310° 1
＝cos 20°sin 20°2sin 40°1cos 50°＝sin 40°＝2.
题型二 和差公式的综合应用 命题点1 角的变换
例2 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝3
5
，则cos β等于( A.252525
B.
5 C.25D.
525或25
5
5或525
(2)已知cos(α－π6)＋sin α＝47π
53，则sin(α＋6
)的值是 ．
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)