发布时间 : 星期五 文章2019年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷(文科)更新完毕开始阅读1271a23abb0d4a7302768e9951e79b896902683d
xi和年销售量yi（i＝1，2，3，4，5，6）的数据作了初步统计，得到如下数据：
年份 年宣传费x（万元） 年销售量y（吨） 2013 38 16.8 2014 48 18.8 2015 58 20.7 2016 68 22.4 2017 78 24.0 2018 88 25.5 b
经电脑模拟，发现年宣传费x（万元）与年销售量y（吨）之间近似满足关系式y＝a?x（a，b＞0）．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如表：
75.3 24.6 18.3 101.4 （1）根据所给数据，求y关于x的回归方程； （2）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝润最大，请预测2019年的宣传费用是多少万元？
附：对于一组数据（ul，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v＝β?u+a中的斜率
y﹣
x若想在2019年达到年利
和截距的最小二乘估计分别为β＝，
【分析】（1）对y＝a?x两边取对数得lny＝lna+blnx，令ui＝lnxi，vi＝lnyi，得v＝lna+b?u，
求出u关于v的线性回归方程，得出y关于x的回归方程；
（2）写出年利润z的预测值函数，利用函数的性质求出x为何值时取得最大值即可． 【解答】解：（1）对y＝a?x，（a＞0，b＞0），两边取对数得lny＝lna+blnx， 令ui＝lnxi，vi＝lnyi，得v＝lna+b?u， 由题目中的数据，计算＝
＝4.1，＝
＝3.05，
b
b
且
（uivi）＝（lnxilnyi）＝75.3，
＝＝101.4；
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则＝＝＝＝，
lna＝﹣ln＝3.05﹣×4.1＝1， 得出＝e，
所以y关于x的回归方程是＝e?
；
（2）由题意知这种产品的年利润z的预测值为 ＝所以当
y﹣＝7
x＝e?
﹣
x＝﹣
（x﹣14
）＝﹣
+7e，
，即x＝98时，取得最大值，
即当2019年的年宣传费用是98万元时，年利润有最大值．
【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了线性回归方程的计算问题，是难题． 20．（12分）椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过C的长轴，短轴端点的一条直线方程是x+
y﹣2＝0．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）作直线交椭圆C于A，B两点，若点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点． 【分析】（Ⅰ）对于x+
y﹣2＝0，当x＝0时，y＝
，即b＝
，当y＝0，x＝2，即
a＝2，再写出椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线AB：y＝kx+2，（k≠0），设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则B′（﹣x2，y2），代入椭圆方程，即根据韦达定理，直线方程，求出直线AB′过定点Q（0，1），
【解答】解：（Ⅰ）对于x+即a＝2， ∴椭圆的方程为
+
＝1，
y﹣2＝0，当x＝0时，y＝
，即b＝
，当y＝0，x＝2，
（Ⅱ）证明：设直线AB：y＝kx+2，（k≠0），
设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则B′（﹣x2，y2），
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联立直线AB与椭圆得
2
2
，
得（1+2k）x+8kx+4＝0，
∴△＝64k﹣8（1+2k）＞0，解得k＞ ∴x1+x2＝﹣
，x1x2＝
，
2
2
2
∴kAB′＝
，
∴直线AB′：y﹣y1＝（x﹣x1），
∴令x＝0，得y＝＝＝+2＝2k?
+2＝﹣1+2＝1，
∴直线AB′过定点Q（0，1），
【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+ax．
（Ⅰ）若y＝f（x）的图象在点x＝1处的切线与直线x+y＝0平行，求a的值； （Ⅱ）若a≥0，讨论f（x）的零点个数．
【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得a的值；
（Ⅱ）讨论a＝0，由f（x）＝0，可得x＝1；a＞0时，由f（x）＝0，可得﹣a＝＞0，设g（x）＝点个数．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝xlnx+ax， 导数为f′（x）＝1+lnx+2ax，x＞0， 图象在点x＝1处的切线斜率为1+2a，
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，x
，求得导数和单调性、极值和最值，画出图象，即可得到所求零
由切线与直线x+y＝0平行，可得1+2a＝﹣1， 解得a＝﹣1；
（Ⅱ）若a＝0，可得f（x）＝xlnx，
由f（x）＝0，可得x＝1（0舍去），即f（x）的零点个数为1； 若a＞0，由f（x）＝0，即为lnx+ax＝0， 可得﹣a＝设g（x）＝
，x＞0， ，g′（x）＝
，
当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增， 可得x＝e处g（x）取得极大值，且为最大值， g（x）的图象如右图：
由a＞0，即﹣a＜0，可得y＝﹣a和y＝g（x）的图象只有一个交点， 即a＞0时，f（x）的零点个数为1， 综上可得f（x）在a≥0的零点个数为1．
【点评】本题考查函数的导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查函数的零点个数问题，注意运用分类讨论思想方法和数形结合思想，考查运算能力，属于中档题．
选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（t为参数），以
O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2acosθ（a＞0）． （Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P（
，0），且|PA|+|PB|＝
，求a的值．
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