发布时间 : 星期三 文章四年级数学竞赛全讲更新完毕开始阅读129667fd14791711cd79176a
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分析与解：本题可以同例2一样从A标到B，也可以将从A到B分为三段，先是从A到C，再从C到D，最后从D到B。如右上图所示，从A到C有3种走法，从C到D有4种走法，从D到B有6种走法。因为从A到B是分几步走的，所以应该用乘法原理，不同的路线共有
3×4×6＝72（条）。
例4沿左下图中箭头所指的方向从A到B共有多少种不同的走法？
分析与解：如右上图所示，先标出到C点的走法数，再标出到D点和E点的走法数，然后标出到F点的走法数，最后标出到B点的走法数。共有8种不同的走法。
例5有15根火柴，如果规定每次取2根或3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？
分析与解：为了便于理解，可以将本题转变为“上15级台阶，每次上2级或3级，共有多少种上法？”所以本题的解题方法与例1类似（见下表）。
注意，因为每次取2或3根，所以取1根的方法数是0，取2根和取3根的方法数都是1。取4根的方法数是取1根与取2根的方法数之和，即0＋1＝1。依此类推，取n根火柴的方法数是取（n-3）根与取（n-2）根的方法数之和。所以，这串数（取法数）中，从第4个数起，每个数都是它前
面第3个数与前面第2个数之和。取完15根火柴共有28种不同取法。 练习21
1.小明要登15级台阶，每步登1级或2级台阶，共有多少种不同登法？ 2.小明要登20级台阶，每步登2
级或3级台阶，共有多少种不同登法？ 3.有一堆火柴共10根，每次取走1～3根，把这堆火柴全部取完有多少种不同取法，
4.在下图中，从A点沿最短路径到B点，共有多少条不同的路线？
5.左下图是某街区的道路图，C点和D点正在修路不能通过，那么从A点到B点的最短路线有多少条？
6.右上图是八间房子的示意图，相邻两间房子都有门相通。从A点穿过房间到达B处，如果只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同的走法？
第22讲 还原问题（一） 有一位老人说：“把我的年龄加上12，再用4除，再减去15后乘以10，恰好是100岁。”这位老人有多少岁呢？解这个题目要从所叙述的最后结果出发，利用已给条件一步步倒着推算，同学们不难看出，这位老人的年龄是 （100÷10＋15）×4—12＝88（岁）。 从这一例子可以看出，对于有些问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是，如果改变思考顺序，从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，原来加的用减，减的用加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决。这种解题方法叫
做还原法或逆推法，用还原法解题的问题叫做还原问题。
例1有一个数，把它乘以4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4。问：这个数是几？ 分析：这个问题是由 （□×4—46）÷3—10＝4， 求出□。我们倒着看，如果除以3以后不减去10，那么商应该是4＋10＝14；如果在减去46以后不除以3，那么差该是14×3＝42；可知这个数乘以4后的积为42＋46＝88，因此这个数是88÷4=22。
解：［（4＋10）×3＋46］÷4＝22。 答：这个数是22。
例2小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，结果得到的“和”是123。问：正确的结果应是多少？ 分析：利用还原法。因为把个位上的5看成9，所以多加了4；又因为把十位上的8看成3，所以少加了50。在用还原法做题时，多加了的4应减去，多减了的50应加上。 解：123-4＋50＝169。 答：正确的结果应是169。 例3学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。问：最初乐乐拿了多少棵树苗？ 分析：先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗。学校共有树苗36棵，乐乐拿的树苗数是欢欢的2倍，所以欢欢现在拿了36÷（2＋1）=12（棵）树苗，而乐乐现在拿了12×2＝24（棵）树苗，乐乐从欢欢那里抢走了6棵后是24棵，如果不抢，那么乐乐有树苗24-6＝18（棵），欢欢看乐乐拿得太多，去抢了10棵，如果欢欢不抢，那么乐乐就有18＋10＝28（棵）。 解：36÷5（1＋2）×2-6＋10=28（棵）。 答：乐乐最初拿了28棵树苗。 例4甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。
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问：甲、乙、丙三个组原来各有多少 答：这捆电线原有54米。 本图书？
练习22
分析与解：尽管甲、乙、丙三个组之 1.某数加上11，减去12，乘以13，间将图书借来借去，但图书的总数90除以14，其结果等于26，这个数是多本没有变，由最后三个组拥有相同数少？
目的图书知道，每个组都有图书90÷3 2.某数加上6，乘以6，减去6，＝30（本）。根据题目条件，原来各其结果等于36，求这个数。
组的图书为
3.在125×□÷3×8—1=1999中， 甲组有30＋3＝33（本）， □内应填入什么数？
乙组有30—3＋5＝32（本）， 4.小乐爷爷今年的年龄数减去15 丙组有30—5＝25（本）。
后，除以4，再减去6之后，乘以10， 恰好是100。问：小乐爷爷今年多少岁？
5.粮库内有一批面粉，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩店时，我还有4元钱。问：进A商店下的一半少7吨，还剩4吨。问：粮时我身上有多少钱？
库里原有面粉多少吨？
6.有一筐梨，甲取一半又一个，乙取余下的一半又一个，丙再取余下
的一半又一个，这时筐里只剩下一个梨。这筐梨共值8.80元，那么每个梨值多少钱？
桔子。问：树上原来有桔子多少个？
8.某人去银行取款，第1次取了存款的一半还多5元，第二次取了余
下的一半还多10元，这时存折上还剩125元。问：此人原有存款多少元？ =18（元）
第23讲 还原问题（二）
答：进A商店时我身上有18元。 上一讲我们讲了还原问题的基本例6一捆电线，第一次用去全长的一思想和解法，下面再讲一些较复杂的半多3米，第二次用去余下的一半少还原问题和列表逆推法。
10米，第三次用去15米，最后还剩7例1有一堆棋子，把它四等分后剩下米，这捆电线原有多少米？ 一枚，取走三份又一枚；剩下的再四 分析：由逆推法知，第二次用完等分又剩一枚，再取走三份又一枚；还剩下15＋7=22（米），第一次用完剩下的再四等分又剩一枚。问：原来还剩下（22—10）×2＝24（米），原至少有多少枚棋子？
来电线长（24＋3）×2＝54（米）。 分析与解：棋子最少的情况是最后一解：［（15＋7—10）×2＋3］×2＝次四等分时每份为1枚。由此逆推，54（米）。
得到
第三次分之前有1×4＋1＝5（枚），
第二次分之前有5×1＋1＝21（枚），
第一次分之前有21×4＋1＝85（枚）。
所以原来至少有85枚棋子。 例2袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5次，袋中还有3个球。问：袋中原有多少个球？
分析与解：利用逆推法从第5次操作后向前逆推。第5次操作后有3个，第4次操作后有（3—1）×2＝4（个），第3次??为了简洁清楚，可以列表逆推如下：
所以原来袋中有34个球。
例3三堆苹果共48个。先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。这时，三堆苹果数恰好相等。问：三堆苹果原来各有多少个？
分析与解：由题意知，最后每堆苹果都是48÷3＝16（个），由此向前逆推如下表：
原来第一、二、三堆依次有22，14，12个苹果。
逆推时注意，每次变化中，有一堆未动；有一堆增加了一倍，逆推时
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应除以2；另一堆减少了增加一倍那堆增加的数，逆推时应使用加法。 例4有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加一倍；最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶。这时，各桶油都是16千克。问：各桶原有油多少千克？
分析与解：与例3类似，列表逆推如下：
原来甲、乙、丙桶分别有油26，14，8千克。
逆推时注意，每次变化时，有两桶各增加了一倍，逆推时应分别除以2；另一桶减少了上述两桶增加的数，逆推时应使用加法。
例5兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数。如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同。问：兄弟三人的年龄各多少岁？ 分析与解：由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有24÷3＝8（个）桔子。由此列表逆推如下表：
由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13，7，4个，现在的年龄依次为16，10，7岁。
逆推时注意，拿出桔子的人其桔 顾名思义，页码问题与图书子数减少了一半，逆推时应乘以2；另的页码有密切联系。事实上，页码问两人各增加拿出桔子的人拿出桔子数题就是根据书的页码而编制出来的一的一半，逆推时应减去拿出桔子数的类应用题。
一半。 编一本书的页码，一共需要多少 练习23
个数码呢？反过来，知道编一本书的 1.有一堆桃，第一只猴拿走其中页码所需的数码数量，求这本书的页的一半加半个，第二只猴又拿走剩下数。这是页码问题中的两个基本内容。 的一半加半个，第三、四、五只猴照 为了顺利地解答页码问题，我们此方式办理，最后还剩下一个桃。问：先看一下“数”与“组成它的数码个原来有多少个桃？
数”之间的关系。一位数共有9个， 组成所有的一位数需要9个数码；两位数共有90个，组成所有的两位数需
要2×90＝180（个）数码；三位数共有900个，组成所有的三位数需要3 问：这堆西瓜原来有多少个？ ×900＝2700（个）数码??为了清楚 3.甲、乙两粮库各有大米若干吨，起见，我们将n位数的个数、组成所先是甲库运出一半给乙库，然后乙库
有n位数需要的数码个数、组成所有
不大于n位的数需要的数码个数之间的关系列表如下：
由上表看出，如果一本书不足100 525吨，乙库有大米775吨。问：
页，那么排这本书的页码所需的数码最初甲、乙两库各有大米多少吨？ 个数不会超过189个；如果某本书排 4.书架有上、中、下三层，一共的页码用了10000个数码，因为 放了192本书。先从上层取出与中层 2889＜10000＜38889，所以这本同样多的书放到中层，再从中层取出书肯定是上千页。
与下层同样多的书放到下层，最后从 下面，我们看几道例题。 下层取出与上层现有的同样多的书放例1一本书共204页，需多少个数码到上层，这时三层的书刚好相等。问：编页码？
这个书架上、中、下三层原来各有多分析与解：1～9页每页上的页码是一少本书？
位数，共需数码 5.甲、乙、丙三人各有若干元钱， 1×9=9（个）；
甲拿出一半平分给乙、丙，乙又拿出 10～99页每页上的页码是两位现有的一半平分给甲、丙，最后丙又数，共需数码
拿出现有的一半平分给甲、乙。这时 2×90＝180（个）；
他们各有240元。问：甲、乙、丙三 100～204页每页上的页码是三位人原来各有多少钱？
数，共需数码
（204-100＋1）×3＝105×3＝315（个）。
综上所述，这本书共需数码 9＋180＋315＝504（个）。 例2一本小说的页码，在排版时必须用2211个数码。问：这本书共有多少
页？
分析：因为189＜2211＜2889，所水。问：三个桶中原来各有多少升水？ 以这本书有几百页。由前面的分析知 第24讲 页码问题
道，这本书在排三位数的页码时用了
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数码（2211-189）个，所以三位数的页数有
（2211-189）÷3＝674（页）。 因为不到三位的页数有99页，所以这本书共有
99＋674＝773（页）。 解：99＋（2211——189）÷3＝773（页）。
答：这本书共有773页。 例3一本书的页码从1至62、即共有62页。在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码被错误地多加了一次。结果，得到的和数为2000。问：这个被多加了一次的页码是几？ 分析与解：因为这本书的页码从1至62，所以这本书的全书页码之和为 1＋2＋?＋61＋62 ＝62×（62＋1）÷2 ＝31×63 ＝1953。
由于多加了一个页码之后，所得到的和数为2000，所以2000减去1953就是多加了一次的那个页码，是 2000——1953＝47。
例4有一本48页的书，中间缺了一张，小明将残书的页码相加，得到1131。老师说小明计算错了，你知道为什么吗？
分析与解：48页书的所有页码数之和为
1＋2＋?＋48 ＝48×（48＋1）÷2 ＝1176。
按照小明的计算，中间缺的这一张上的两个页码之和为1176——1131＝45。这两个页码应该是22页和23页。但是按照印刷的规定，书的正文从第1页起，即单数页印在正面，偶数页印在反面，所以任何一张上的两个页码，都是奇数在前，偶数在后，也就是说奇数小偶数大。小明计算出来的是缺22页和23页，这是不可能的。
例5将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：1234567891011l2?问：左起第2000位上的数字是多少？
分析与解：本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码？”因为（2000-189）÷3＝603??2，所以2000个数码排到第99＋603＋1＝703（页）的第2个数码“0”。所以本题的第2000位数是0。
例6排一本400页的书的页码，共需要多少个数码“0”？
分析与解：将1～400分为四组： 1～100，101～200，201～300，301～400。
在1～100中共出现11次0，其余各组每组都比1～100多出现9次0，即每组出现20次0。所以共需要数码“0”
11＋20×3=71（个）。 练习24
1.一本书共有40页，那么共需要多少个数码编页码？
2.一本书共有200页，那么共需要多少个数码编页码？
3.排一本小说的页码，需要用2202个数码，这本书共有多少页？ 4.一本书的页码为1至62，即共有62页。在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码漏加了。结果，得到的和数为1939。问：这个被漏加的页码是几？
5.有一本96页的书，中间缺了一张。如果将残书的所有页码相加，那么可能得到偶数吗？
6.将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数： 1234567891011121314? 问：左起第1000位数是几？ 7.有一本科幻故事书，每四页中，有一页为文字，其余三页为图画。如果第一页为图画，那么第二、三页也是图画，第四页为文字，第五、六、七页又为图画，依此类推。如果第一页为文字，那么第二、三、四页为图画，第五页为文字，第六、七、八页又为图画，依此类推。试问： （1）假如这本书有96页，且第一页是图画，那么这本书多少页有图画？
（2）假如这本书有99页，那么多少页有图画？
第25讲 智取火柴
在数学游戏中有一类取火柴游戏，它有很多种玩法，由于游戏的规则不同，取胜的方法也就不同。但不论哪种玩法，要想取胜，一定离不开用数学思想去推算。
例1桌子上放着60根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？ 分析与解：本题采用逆推法分析。获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1，2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根??由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜。现在桌上有60根火柴，甲先取，不可能留给乙4的倍数根，而甲每次取完后，乙再取都可以留给甲4的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜。
在例1中为什么一定要留给对方4的倍数根，而不是5的倍数根或其它倍数根呢？关键在于规定每次只能取1～3根，1＋3＝4，在两人紧接着的两次取火柴中，后取的总能保证两人取的总数是4。利用这一特点，就能分析出谁采用最佳方法必胜，最佳方法是什么。由此出发，对于例1的各种变化，都能分析出谁能获胜及获胜的方法。
例2在例1中将“每次取走1～3根”改为“每次取走1～6根”，其余不变，情形会怎样？
分析与解：由例1的分析知，只要始终留给对方（1+6=）7的倍数根火柴，就一定获胜。因为60÷7＝8??4，所以只要甲第一次取走4根，剩下56根火柴是7的倍数，以后总留给乙7的倍数根火柴，甲必胜。
由例2看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者获胜的规定下，谁能做到总给对方留下（1+n）的倍数根火柴，谁将获胜。