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11．将1大气压的空气吹成r=2.5厘米的肥皂泡，应作多少功？肥皂液的表面张力系数α=45×10-3牛/米。
解：首先要扩大泡内外的表面积需作功
W1???S?8?r?功，由（8-17）式知
2
同时将空气由P0?1大气压等温压缩到泡内(P?P0?4?/r,V?4?r/3)需作
3V0/V)?PVln(P/P0) W2?nRTln(?(P0?
4?R)?34?34?p0rr?ln(1?233)p0r
4??P0?
4?3r??W1
式中P0?4?/r，ln(1?4?/P0r)?4?/P0r。两项共需作功 W?W1?W2?(5/3)W1 ?8?r?(5/3)?1.2?102?3焦。
12．紧绷的肥皂薄膜有两个平行的边界，线AB将薄膜分隔成两部分（如图21-29（a））。为了演示液体的表面张力现象，刺破左边的膜，线AB受到表面张力作用被拉紧，试求此时线的张力。两平行边之间的距离为d，线AB的长度为l（L?πd/2），肥皂液的表面张力系数为σ。
解：刺破左边的膜以后，线会在右边膜的作用下形状相应发生变化（两侧都有膜时，线的形状不确定），不难推测，在l??d/2的情况下，线会形成长度为
的两条直线段和半径为d/2的半圆，如图21-29（b）所示。线在C、D两处的拉力及各处都垂直于该弧线的表面张力的共同作用下处于平衡状态，显然
2??1?l??d/2?
2T??fi，
f式中fi为在弧线上任取一小段所受的表面张力，?i指各小段所受表面张力的合力，如图21-29（b）所示，在弧线上取对称的两小段，长度均为r??，与?轴的夹角均为?，显然
f1?f2?2??r??。 而这两个力的合力必定沿?轴方向，（它们垂直?轴方向分力的合力为零），这样
所以
因此
f1??f2??2?r?cos?r??ATC??，
T?fi?2?r?cos????4?r?2?d。
BD T??d。
说明：对本题要注意薄膜有上下两层表面层，都会受到表面张力的作用。
图21-29（b）