发布时间 : 星期日 文章2019年河南省高考数学二模试卷(理科)(解析版)更新完毕开始阅读13428f51bb1aa8114431b90d6c85ec3a87c28ba4
【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列2×2列联表，求出K2，由K2＞3.841，得到有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关．
（2）设第i组的频率为Pi（i=1，2，…，8），推导出第①组1人，第②组4人，第③组10人，从而X的所有可能取值为0，1，2，3，
，由此能求出X的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列2×2列联表如下： 利用时间充分 走读生 住宿生 总计 … K2=
≈5.556 …
60 40 100 10 15 25 50 利用时间不充分 25 75 总计 由于K2＞3.841，所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关…
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（2）设第i组的频率为Pi（i=1，2，…，8）， 则由图可知：P1=
×30=
，P2=
×30=
，P3=
×30=
，
∴第①组1人，第②组4人，第③组10人．… 则X的所有可能取值为0，1，2，3，∴
，
…..
∴X的分布列为：
P X 0 1 ．…..
19．在正三角形ABC中，E、F、P分别是﹣AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）．
2 3 ，
（1）求证：A1E⊥平面BEP；
（2）求二面角B一A1P一F的余弦值的大小．
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【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明A1E⊥平面BEP； （2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B一A1P一F的余弦值的大小．
【解答】解：不妨设正三角形ABC 的边长为 3． （1）在图1中，取BE的中点D，连结DF． ∵AE：EB=CF：FA=1：2， ∴AF=AD=2．…
而∠A=60°，∴△ADF是正三角形． 又AE=DE=1，∴EF⊥AD．… 在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角． 由题设条件知此二面角为直二面角， ∴A1E⊥BE．又BE∩EF=E，
∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．… （2）由（1）知，即A1E⊥平面BEP，BE⊥EF．
以E为原点，以EB、EF、EA1分别为x、y、z轴建立如图3所示的坐标系如图，…
．…
∴
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．…
，
…， ．…，
．…，
．…
因为二面角B﹣A1P﹣F为钝角，
．…
20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．
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