发布时间 : 星期五 文章2019年河南省高考数学二模试卷(理科)(解析版)更新完毕开始阅读13428f51bb1aa8114431b90d6c85ec3a87c28ba4
(1)求p的值;
(2)以AB为直径的圆交x轴于点M,N,记劣弧的长度为S,当直线l绕F旋转时,求
的最大值.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;直线与圆的位置关系. 【分析】(1)求出l的方程为
,设A(x1,y1),B(x2,y2),联
立直线与抛物线方程,利用韦达定理求出AB中点坐标,推出中垂线方程,结合AB的中垂线交y轴于点Q(0,5).求出p即可. (2)设l的方程为y=kx+1,代入x2=4y,求出AB的距离以及AB中点2k2+1)为D(2k,,令∠MDN=2α,求出S的表达式,推出关系式利用D到x轴的距离|DE|=2k2+1,求出解
的最大值.
, ,
,然后求
【解答】解:(1)抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,当l的倾斜角为45°时,l的方程为设A(x1,y1),B(x2,y2), 由
,得x2﹣2px﹣p2=0,
第29页(共36页)
x1+x2=2p,y1+y2=x1+x2+p=3p,得AB中点为AB中垂线为x=0代入得∴p=2…
.
,
…
(2)设l的方程为y=kx+1,代入x2=4y得x2﹣4kx﹣4=0,
,
AB中点为D(2k,2k2+1) 令∠MDN=2α,∴
…
,
D到x轴的距离|DE|=2k2+1,
…
当k2=0时cosα取最小值,α的最大值为故
21.已知函数f(x)=lnx﹣ax+
+1 (a∈R).
的最大值为
.…
.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)当a∈(,1)时,若对任意t∈[2,3],在x∈(0,t]时,函数f(x)的最小值为f(t),求实数a的取值范围.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)分别解出f′(x)>0,f′(x)<0,即可得出函数f(x)的单调性.
第30页(共36页)
(Ⅱ)先求导,比较1与的大小关系,对a分类讨论,利用导数
研究函数的单调性极值与最值即可得出. 【解答】解:(1)
令g(x)=﹣[ax﹣(1﹣a)](x﹣1)
当a=0时,g(x)=x﹣1,x∈(1,+∞)时,g(x)>0?f'(x)>0?f(x)单调递增,a<0时, 由x>0,得ax﹣(1﹣a)<0,
所以x∈(1,+∞)时,g(x)>0?f'(x)>0?f(x)单调递增, 当a>0时,若
,则
),f'(x)>0,f(x)单调递增,
,
(x>0),
当0<a<,x∈(1,
当a=,f(x)在(0,+∞)上无递增区间, 当<a≤1时,x∈(
,1),f′(x)>0,f(x)单调递增,
当a>1时,x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 综上所述,当a≤0时,单调递增区间为(1,+∞); 当0<a<时,单调递增区间为(1,
);
1) ,;
当a=时,无单调递增区间;<a≤1时,单调递增区间为(当a>1时,单调递增区间为(0,1). (2)由题知函数∴①当
时,
>0,
.
于是x∈(0,1)和
时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
第31页(共36页)
时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
又因为
,要对任意实数t∈[2,3],当x∈(0,t]时,函数f
(x)的最小值为f(t),只需要f(2)≤f(1), 即
解得a≥2ln2﹣1. ∵∴②当
时,
, ;
,
,
在x∈(0,+∞)上,恒有f'(x)≤0,有且仅有f'(1)=0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减,显然成立. ③当于是
时,
,
和x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
要对任意实数t∈[2,3],
当x∈(0,t]时,函数f(x)的最小值为f(t),只需要即令
, ,
所以g(a)在g(a)≥
上单调递减,在
上单调递增减,
;
,
>ln2+,所以此时恒定满足题意.
综上所述:a∈[2ln2﹣1,1).
第32页(共36页)