2019年河南省高考数学二模试卷(理科)(解析版) 联系客服

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(1)求p的值;

(2)以AB为直径的圆交x轴于点M,N,记劣弧的长度为S,当直线l绕F旋转时,求

的最大值.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;直线与圆的位置关系. 【分析】(1)求出l的方程为

,设A(x1,y1),B(x2,y2),联

立直线与抛物线方程,利用韦达定理求出AB中点坐标,推出中垂线方程,结合AB的中垂线交y轴于点Q(0,5).求出p即可. (2)设l的方程为y=kx+1,代入x2=4y,求出AB的距离以及AB中点2k2+1)为D(2k,,令∠MDN=2α,求出S的表达式,推出关系式利用D到x轴的距离|DE|=2k2+1,求出解

的最大值.

, ,

,然后求

【解答】解:(1)抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,当l的倾斜角为45°时,l的方程为设A(x1,y1),B(x2,y2), 由

,得x2﹣2px﹣p2=0,

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x1+x2=2p,y1+y2=x1+x2+p=3p,得AB中点为AB中垂线为x=0代入得∴p=2…

(2)设l的方程为y=kx+1,代入x2=4y得x2﹣4kx﹣4=0,

AB中点为D(2k,2k2+1) 令∠MDN=2α,∴

D到x轴的距离|DE|=2k2+1,

当k2=0时cosα取最小值,α的最大值为故

21.已知函数f(x)=lnx﹣ax+

+1 (a∈R).

的最大值为

.…

(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;

(Ⅱ)当a∈(,1)时,若对任意t∈[2,3],在x∈(0,t]时,函数f(x)的最小值为f(t),求实数a的取值范围.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

【分析】(Ⅰ)分别解出f′(x)>0,f′(x)<0,即可得出函数f(x)的单调性.

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(Ⅱ)先求导,比较1与的大小关系,对a分类讨论,利用导数

研究函数的单调性极值与最值即可得出. 【解答】解:(1)

令g(x)=﹣[ax﹣(1﹣a)](x﹣1)

当a=0时,g(x)=x﹣1,x∈(1,+∞)时,g(x)>0?f'(x)>0?f(x)单调递增,a<0时, 由x>0,得ax﹣(1﹣a)<0,

所以x∈(1,+∞)时,g(x)>0?f'(x)>0?f(x)单调递增, 当a>0时,若

,则

),f'(x)>0,f(x)单调递增,

(x>0),

当0<a<,x∈(1,

当a=,f(x)在(0,+∞)上无递增区间, 当<a≤1时,x∈(

,1),f′(x)>0,f(x)单调递增,

当a>1时,x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 综上所述,当a≤0时,单调递增区间为(1,+∞); 当0<a<时,单调递增区间为(1,

);

1) ,;

当a=时,无单调递增区间;<a≤1时,单调递增区间为(当a>1时,单调递增区间为(0,1). (2)由题知函数∴①当

时,

>0,

于是x∈(0,1)和

时,f'(x)<0,f(x)单调递减;

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时,f'(x)>0,f(x)单调递增;

又因为

,要对任意实数t∈[2,3],当x∈(0,t]时,函数f

(x)的最小值为f(t),只需要f(2)≤f(1), 即

解得a≥2ln2﹣1. ∵∴②当

时,

, ;

在x∈(0,+∞)上,恒有f'(x)≤0,有且仅有f'(1)=0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减,显然成立. ③当于是

时,

和x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;时,f'(x)>0,f(x)单调递增;

要对任意实数t∈[2,3],

当x∈(0,t]时,函数f(x)的最小值为f(t),只需要即令

, ,

所以g(a)在g(a)≥

上单调递减,在

上单调递增减,

>ln2+,所以此时恒定满足题意.

综上所述:a∈[2ln2﹣1,1).

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