发布时间 : 星期四 文章绍兴中考数学试题(解析版) (2)更新完毕开始阅读1345c915842458fb770bf78a6529647d272834bd
25．（14分）(2014年浙江绍兴)如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C． （1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．
（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值．
（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．
考点： 相似形综合题；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质． 专题： 压轴题．
分析： （1）易得点P的坐标是（2，1），即可得到PA的长．
（2）易证∠AOB=45°，由角平分线的性质可得PA=PC，然后通过证明△ANP≌△CMP即可求出PA：PC的值． （3）可分点P在线段OB的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论．易证PA：PC=PN：PM，设OA=x，只需用含x的代数式表示出PN、PM的长，即可求出PA：PC的值． 解答： 解：（1）∵点P与点B重合，点B的坐标是（2，1）， ∴点P的坐标是（2，1）． ∴PA的长为2．
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，如图1所示． ∵点A的纵坐标与点B的横坐标相等， ∴OA=AB． ∵∠OAB=90°，
∴∠AOB=∠ABO=45°． ∵∠AOC=90°， ∴∠POC=45°．
∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=90°． ∴∠NPM=90°． ∵∠APC=90°．
∴∠APN=90°﹣∠APM=∠CPM． 在△ANP和△CMP中，
∵∠APN=∠CPM，PN=PM，∠ANP=∠CMP， ∴△ANP≌△CMP． ∴PA=PC．
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∴PA：PC的值为1：1．
（3）①若点P在线段OB的延长线上，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N， PM与直线AC的交点为F，如图2所示． ∵∠APN=∠CPM，∠ANP=∠CMP， ∴△ANP∽△CMP． ∴
．
∵∠ACE=∠AEC， ∴AC=AE． ∵AP⊥PC， ∴EP=CP． ∵PM∥y轴，
∴AF=CF，OM=CM． ∴FM=OA． 设OA=x， ∵PF∥OA，
∴△PDF∽△ODA． ∴
∵PD=2OD，
∴PF=2OA=2x，FM=x． ∴PM=x．
∵∠APC=90°，AF=CF， ∴AC=2PF=4x． ∵∠AOC=90°， ∴OC=x．
∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°， ∴四边形PMON是矩形． ∴PN=OM=
x．
∴PA：PC=PN：PM=
x：x=
．
②若点P在线段OB的反向延长线上，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N， PM与直线AC的交点为F，如图3所示． 同理可得：PM=x，CA=2PF=4x，OC=x．
∴PN=OM=OC=
x．
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∴PA：PC=PN：PM=x：x=
或
． ．
综上所述：PA：PC的值为
点评： 本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线等分线段定理、勾股定理等知识，综合性非常强．
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