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全国名校高考数学优质学案平面解析几何专题汇编（附详解）
∴x＝－5，y＝－3，即P(－5,1)，Q(7，－3)， 故直线l的斜率k＝【答案】 B
3．(优质试题·开封模拟)若直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________．
－3－11
＝－3.故选B. 7＋5
【解析】 如图所示，为使直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k满足k≥kPA或k≤kPB，
又kPA＝kPB＝
－3－2
＝5.
－2－?－1?
0－21
＝－2，
3－?－1?
1??
则k∈?－∞，－2?∪[5，＋∞)．
??1??
【答案】 ?－∞，－2?∪[5，＋∞)
??
1．已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤
(1)求出斜率k的取值范围(若斜率不存在，倾斜角为90°)．
(2)利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆确定倾斜角的取值范围． 2．直线的斜率与倾斜角的关系
π?π?π??
(1)当α∈?0，2?且由0增大到2?α≠2?时，k由0增大到＋∞.
????
π?π??π?
(2)当α∈?2，π?时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由2?α≠2?增
????大到π(α≠π)时，k由－∞趋近于0(k≠0)．
考向2直线的方程 ●命题角度1 求直线方程
全国名校高考数学优质学案平面解析几何专题汇编（附详解）
1．(优质试题·沧州模拟)直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l的方程为________．
x【解析】 由题意知，截距不为0，设直线l的方程为a＋又直线l过点(－3,4)， －34从而a＋＝1，
12－a
解得a＝－4或a＝9，故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0. 【答案】 4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0
2．(优质试题·大连模拟)若A(1，－2)，B(5,6)，直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为________．
【解析】 由题意知M(3,2)，若直线l在两坐标轴上的截距为0，即直线l2
过(0,0)及(3,2)，所以直线l的方程为y＝3x，即2x－3y＝0.若直线l在两坐标轴上xy32
的截距不为0，则设直线l的方程为a＋a＝1，又点(3,2)在直线l上，所以a＋a＝1，
解得a＝5，因此直线l的方程为x＋y－5＝0. 综上知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0. 【答案】 2x－3y＝0或x＋y－5＝0 ●命题角度2 与直线方程有关的最值问题
y
＝1. 12－a
图8-1-1
3．已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图8-1-1所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
xy
【解】 法一 设直线l的方程为a＋b＝1(a＞0，b＞0)，则A(a,0)，B(0，1
b)，△ABO的面积S＝2ab，
∵直线l过点P(3,2)，
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32∴a＋b＝1≥2 即ab≥24.
6ab， 32
当且仅当a＝b，即a＝6，b＝4时取等号．
1
∴S＝2ab≥12，当且仅当a＝6，b＝4时有最小值12. xy
此时直线l的方程为6＋4＝1，即2x＋3y－12＝0. 法二 设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)． 2
令x＝0，得y＝2－3k，令y＝0，得x＝3－k， 2??
即A?3－k，0?，B(0,2－3k)．
??
4?2?1?1?12＋?－9k?＋3－∴S△ABO＝2(2－3k)?＝? k??－k????2??1?
≥2?12＋2
?
4?1
?＝×(12＋12)＝12. ?－9k?·?－k??242
时，即k＝－3时，等号成立． －k
当且仅当－9k＝
即△ABO面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.
1．求直线方程的方法
(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程． (2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程．
2．解决直线方程问题的注意点
(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在． (2)应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0. 考向3两条直线平行、垂直的关系
(1)若直线l1：ax＋2y－6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，
则a＝________.
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(2)若直线l3：(a＋2)x＋(2－a)y＝1与直线l4：(a－2)x＋(3a－4)y＝2互相垂直，则a的值为________．
【解析】 (1)由l1∥l2得a(a－1)＝2，解得a＝2或a＝－1，经验证当a＝2或a＝－1时l1∥l2.
(2)由l3⊥l4得(a＋2)(a－2)＋(2－a)(3a－4)＝0， 解得a＝2或3.
【答案】 (1)2或－1 (2)2或3
根据两条直线平行或垂直的关系求参数的方法
1．直接使用两条直线平行或重合的充要条件和两条直线垂直的充要条件求解．在使用两条直线平行或重合的充要条件时，应验证 两条直线重合的情况．
2．先求出直线的斜率，然后利用斜率之间的关系求解．使用此方法应注意直线斜率不存在的情况．
[变式训练]
1．(优质试题·大连模拟)已知直线l1：(3＋a)x＋4y＝5－3a和直线l2：2x＋(5＋a)y＝8平行，则a＝( )
A．－7或－1 C．7或1
B．－7 D．－1
【解析】 由l1∥l2，得(3＋a)(5＋a)－8＝0，解得a＝－7或a＝－1. 经检验，当a＝－1时，l1与l2重合，故a＝－7. 【答案】 B
2．(优质试题·深圳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则直线xsin A＋ay＋c＝0与直线bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是( )
A．平行 C．重合
B．垂直
D．相交但不垂直
ab
【解析】 在△ABC中，由正弦定理sin A＝sin B， bsin A
∴sin B·a＝1.
sin A
又xsin A＋ay＋c＝0的斜率k1＝－a，