发布时间 : 星期二 文章山东省临沂市2019届高三数学二模试卷（理科）更新完毕开始阅读1409d84d54270722192e453610661ed9ad515537
．
n为奇数时，Tn=Tn﹣1+bn，即可得出．
【解答】解：（1）∵对满足m+n≤5的任意正整数m，n，均有am+an=am+n成立． ∴m=n=1时，2a1=a2=a1+2．
m=1，n=2时，可得a1+a2=a3=a1+2，解得a2=2，a1=1． ∴n为奇数时，an=1+
=n，n为偶数时，an=2×
=
．
∴an=．
（2）bn=，∴n为奇数时，
bn=
n为偶数时，bn=因Tn=
此
：
n
． 为
=．
偶数时，数列{bn}的前n项和+
=+
=﹣﹣．
∴n为奇+
数时，Tn=Tn
﹣1
+bn=
=
﹣
﹣
﹣
．
20．已知函数f（x）=
（I）求函数f（x）的单调区间；
．
（II）若不等式f（x）＞恒成立，求整数k的最大值；
2n﹣3
（III）求证：（1+1×2）?（1+2×3）…（1+n（n×1））＞e（n∈N）．
*
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）对函数f（x）求导数，可判f′（x）＜0，进而可得单调性；
（Ⅱ）问题转化为h（x）k恒成立，通过构造函数可得h（x）min∈（3，4），进而可得k值； （Ⅲ）法一：可得ln（x+1）＞2﹣
，令x=n（n+1）（n∈N*），一系列式子相加，由裂项相
消法可得ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln＞2n﹣3，进而可得答案；法二：利用数学归纳法证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，1）∪（1，+∞）， f′（x）=﹣
，
令φ（x）=+lnx，则φ′（x）=，
x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，φ（x）递减， ∴φ（x）＞φ（1）=1＞0， ∴f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（1，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）递增， ∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，∴f′（x）＜0，f（x）递减， 综上，f（x）在（0，1），（1，+∞）递减； （Ⅱ）f（x）＞令h（x）=
即h（x）的最小值大于k， h′（x）=
，（x＞1），
＞0，
（x＞1）恒成立，
＞k恒成立，
令g（x）=x﹣2﹣lnx（x＞1），则g′（x）=故g（x）在（1，+∞）递增，
又g（3）=1﹣ln3＜0，g（4）=2﹣2ln2＞0，
g（x）=0存在唯一的实数根a，且满足a∈（3，4），a﹣2﹣lna=0， 故x＞a时，g（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）递增，
1＜x＜a时，g（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）递减， 故h（x）min=h（a）=故正整数k的最大值是3； （Ⅲ）法一：由（Ⅱ）知，即lnx＞2﹣
，故ln（x+1）＞2﹣
＞
，（x＞1）恒成立， ＞2﹣
， ，
=
=a∈（3，4），
令x=n（n+1），（n∈N*），得ln＞2﹣∴ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln ＞（2﹣=2n﹣3[=2n﹣3（1﹣=2n﹣3+
）+（2﹣+） ＞2n﹣3，
2n﹣3
）+…+
+…+
]
故（1+1×2）?（1+2×3）…（1+n（n×1））＞e（n∈N）．
*
法二：要证（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））＞e2n﹣3， 只需证ln＞2n﹣3，
即ln（1+1?2）+ln（1+2?3）+…+ln（1+n（n+1））＞2n﹣3． 可以下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时 左边=ln3＞0，右边=﹣1，不等式显然成立； ②当n=2时 左边=ln3+ln7=ln21 右边=1 显然不等式成立；
③假设n=k（ k≥2）时成立，即ln（1+1?2）+ln（1+2?3）+…+ln（1+k（k+1）＞2k﹣3， 那么n=k+1时，
ln（1+1?2）+ln（1+2?3）+…+ln（1+（k+1）（k+2））
=ln（1+1?2）+ln（1+2?3）+…+ln（1+k（k+1））+ln（1+（k+1）（k+2）） ＞2k﹣3+ln（1+（k+1）（k+2））
∵当k≥2时 ln（1+（k+1）（k+2））＞2．
∴ln（1+1?2）+ln（1+2?3）+…+ln（1+（k+1）（k+2）） ＞2k﹣3+2=2k﹣1=2（k+1）﹣3， ∴当n=k+1时不等式成立．
综上所述ln（1+1?2）+ln（1+2?3）+…+ln（1+n（n+1））＞2n﹣3成立． 则（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））＞e2n﹣3．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：
的离心率为，抛物线C2：x2=4y的焦点F是C1的一个顶点．
（I）求椭圆C1的方程；
（II）过点F且斜率为k的直线l交椭圆C1于另一点D，交抛物线C2于A，B两点，线段DF的中点为M，直线OM交椭圆C1于P，Q两点，记直线OM的斜率为k'． （i）求证：k?k'=﹣
；
2
（ii）△PDF的面积为S1，△QAB的面积为是S2，若S1?S2=λk，求实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程．
【考点】KL：直线与椭圆的位置关系． 【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为
，抛物线C2：x=4y的焦点F是C1的一个顶点，列出
2
方程组，求出a=2，b=1，由此能求出椭圆C1的方程． （Ⅱ）（i）由题意设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0），由
，得（4k+1）
2
x2+8kx=0，由此求出D（，），M
（），由此能证明kk′=﹣．
（ii）由D（，），F（0，1），得|DF|=，
由，得x2﹣4kx﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式求出|AB|=4