发布时间 : 星期三 文章人教版高中数学选修2-2 2.2.1 综合法和分析法正式版更新完毕开始阅读14402e8fc4da50e2524de518964bcf84b9d52df6
综合法和分析法
一、教学目标：
（一）知识与技能：
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合
法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 （二）过程与方法:
培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力； （三）情感、态度与价值观：
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 二、教学重点：
了解分析法和综合法的思考过程、特点 三、教学难点：
分析法和综合法的思考过程、特点 四、教学过程: （一）导入新课：
合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。 （二）推进新课： 1. 综合法
在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。例如：
已知a,b>0,求证a(b2?c2)?b(c2?a2)?4abc
教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不
等式证明。教师最后归结证明方法。
学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法
设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义 证明:因为b2?c2?2bc,a?0， 所以a(b2?c2)?2abc。 因为c2?a2?2ac,b?0， 所以b(c2?a2)?2abc。
因此 a(b2?c2)?b(c2?a2)?4abc。
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。
用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：
?P?Q1??(Q1?Q2)??Q2?Q3??.....??Qn?Q? 综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差
数列, a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.
分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =?； a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是b2?ac．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．
证明：由 A, B, C成等差数列，有 2B=A + C ． ① 因为A,B,C为△ABC的内角，所以 A + B + C=?． ②
?由①② ，得 B=． ③
3由a, b，c成等比数列，有 b2?ac． ④ 由余弦定理及③，可得
b2?a2?c2?2accosB?a2?c2?ac．
再由④，得 a2?c2?ac?ac．
2?0即 (a?c)，
因此 a?c． 从而 A=C． 由②③⑤，得
?A=B=C=．
3所以△ABC为等边三角形．
注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．
例2、已知a,b?R?,求证aabb?abba.
分析：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设a?b?0.
?a?b?0，从而原不等式得证。 abbabba?ba?b?ab?ab?ab(a?b)?02）商值比较法：设a?b?0,
aabbaa??1,a?b?0, ?ba?()a?b?1.故原不等式得证。
babb注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。 2. 分析法
证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3，…… 直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。
a?b?ab （a>0，b>0）的证明就用了上述方法。例如：基本不等式 2要证
a?b?ab， 2只需证
a?b?2ab，
只需证
a?b?2ab?0， 只需证
(a?b)2?0
由于(a?b)2?0显然成立，因此原不等式成立。
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种方法叫做分析法。
分析法可表示为：
?Q?P1??(P1?P2).....?(Pn?1?Pn)??Pn?P?
分析法的特点是：执果索因 例3、求证3?7?25。
分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。
证明：因为3?7和25都是正数，所以为了证明
3?7?25，
只需明
(3?7)2?(25)2，
展开得
10?221?20，
只需证
21?5，
因为21?25成立，所以
(3?7)2?(25)2 成立。
在本例中，如果我们从“21〈25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。
事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P‘．若由P‘可以推出Q‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．
例4 、已知?,??k???2(k?Z)，且
sin??cos??2sin? ① sin?cos??sin2? ②
1?tan2?1?tan2??求证：。
1?tan2?2(1?tan2?)分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角?，因此第一步工作可以从已知条件中消去?。观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量
?2sin??，co于s是1关系(si?n?c?o2s?)，由 ①2一2×② 得4sin2??2sin2??1．把4sin2??2sin2??1与结论相比较，发现角相同，但
函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）
1弦函数．把结论转化为cos2??sin2??(cos2??sin2?),再与
214sin2??2sin2??1比较，发现只要把cos2??sin2??(cos2??sin2?)中
2的角的余弦转化为正弦，就能达到目的．
证明：因为(sin??cos?)2?2sin?cos??1，所以将 ① ② 代入，可得 4sin2??2sin2??1. ③
另一方面，要证
1?tan2?1?tan2??， 21?tan?2(1?tan2?)sin2?sin2?1?1?2cos2?cos?即证 ， ?sin2?sin2?1?2(1?)cos2?cos2?即证
1cos2??sin2??(cos2??sin2?)，
2即证
11?2sin2??(1?2sin2?)，
2即证 4sin2??2sin2??1。 由于上式与③相同，于是问题得证。 （三）课堂练习：
1、课本P89页 练习1、2、3 2、补充练习：
1、a,b,c?R?,求证a?b?b?c?a?c?2(a?b?c)222222
2、?ABC中，已知3b?23asinB，且cosB?cosC求证：?ABC为等边三角形（四）课堂小结：
综合法和分析法的特点。 （五）布置作业：