小升初奥数备考讲义第六讲数论之同余定理、个位律提高版 联系客服

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第六讲 数论之同余定理、个位律

教学目标

学习与研究小学奥数,余数和同余定理是重镇.

(1)熟练掌握余数定理在多位数除法以及高次冥末尾数字求解中的基本运用. (2)同余性质是解决同余问题的重要依据,学会灵活运用同余性质解决同余问题.

(3)能用凑同余的办法解决一个数除以多个数,得不同余数的问题,会运用中国剩余定理解决这一类问题. 射雕英雄传第29回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是想 所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七 挑七数之剩二,问物几何? 这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题战 吗? 吗 ?

分析:这道题翻译为白话即:一些东西不知道有多少,如果3个3个地数,那么最后还剩2个,如果5个5个地数,那么最后还剩3个,如果7个7个地数,那么还剩2个,求这些物体到底有多少个(最少).黄蓉给出的解法是:“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知”,意思就是用被3除得到的余数乘以70,加上被5除的余数乘以21,再加上被7除得的余数乘以15,所得的和不断得减去105即可得到答案,实际上就是中国剩余定理的解法.

【例1】 (奥数网精选试题)一个两位数去除251,得到的余数是41.求这个两位数。

分析:这是一道带余除法题,且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。

得余数为41,所以被除数减去41就能被这个两位数整除,且这个除数应该大于41,210=2×3×5×7, 210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70,其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。

你还记得吗?

【例2】 (温州市数学全能竞赛)用一个自然数去除另一个整数,商40,余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933,求被除数和除数各是多少?

分析:∵被除数=除数×商+余数, 即被除数=除数×40+16。

由题意可知:被除数+除数=933-40-16=877, ∴(除数×40+16)+除数=877, ∴除数×41=877-16, 除数=861÷41, 除数=21,

∴被除数=21×40+16=856。

专题精讲

题型一、余数规律

余数定理:

a:两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

实例:7÷3=…1,5÷3=…2,这样(7+5)÷3的余数就等于1+2=3,所以余0。 b: 两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。

实例:8÷3=…2,4÷3=…1,这样(8-4)÷3的余数就等于2-1=1,所以余1。 如果是(7-5)÷3呢? 会出什么问题?

c: 两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

实例:7÷3=…1,5÷3=…2,这样(7×5)÷3的余数就等于1×2=2,所以余2。 性质: 带余除法:

一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r,0≤r<b,使得a=b×q+r

当r=0时,我们称a能被b整除。

当r≠0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r<b

【例1】 (奥数网精选试题)2007

2007

+2008

2008×444444

98的个位数为多少?

分析:任何数乘方的尾数都是4个数一周期(教师务必讲解这个!), 7是7、9、3、1循环,因为2007÷4=。。。。3,所以2007

2007尾数是3, 尾数是6, 尾数是6,

8是8、4、2、6循环,因为2008能被4整除,所以2008

20084是4、6、4、6循环,因为98÷4=……....2,所以444444所以原式的尾数为3+6×6=39,尾数是 9.

98

12344321

[前铺]4321+1234的个位数字是多少?

分析:任何数的乘方的尾数都是4个数一周期,(教师务必讲解这个!)

个位是1的数无论多少次方个位数都是1,

4321

个位是4的数4、6、4、6循环,所以个位是1234的个位数为4,所以原式的个位数字是5

【例2】 1?2?3?4????200512342005除以10所得的余数为多少?

分析:求结果除以10的余数即求其个位数。从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的,而对于一个数的幂方的个位数,我们知道它总是4个一循环的,因此把每个加数的个位数按20个一组,则不同组中对应的数字应该是一样的。

首先计算1?2?3?4????20的个位数字,为4。

20012005个加数中有100组另5个数,100组的个位数是4?100?400的个位数即0,另外5个数为2001、20032004200520022002、2003、2004、2005,它们和的个位数字是1?4?7?6?5?23的个位数 3,所

123420以原式的个位数字是3,即除以10的余数是3

105

[拓展]试求253×168的末两位数。

分析:分别考虑这两个幂除以4和25所得的余数。

10

首先考虑4,253除以4余数是1,所以253除以4的余数仍是1;168是4的倍数,它的5次方仍是4的倍数,即除以4的余数为0,则原数除以4的余数也是0。

101010

再考虑25,253除以25余3,则只需看3除以25的余数,又3=27×27×27×3则3除以25的

5

余数为2×2×2×3=24;168除以25余18,则只需看18=324×324×18除以25的余数,可知余数为18;又24×18=432除以25的余数为7,所以原式除以25的余数即为7。

两位数中,能被4整除,除以25余7的数只有32,则原式的末两位即为32。

【例3】 有一串数列是这样的:“1、1、1、3、5、9、17、31、57、105……”这串数中第2008个数被3

除的余数是多少?

分析:这串数的规律是:从第四个数起,每个数都等于前三个数的和,这串数转换为被3除的余数: 1、1、1、0、2、0、2、1、0、0、1、1、2、1、1、1……从第14、15、16项开始,都与第1、2、3项分别相等,2008=13×154……6,所以第2008个数被3除的余数是0.

[前铺]著名的裴波那契数列是这样的“1、1、2、3、5、8、13、21……”这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少?

分析:将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列: 1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……

第九项和第十项连续两个是1,与第一项和第二项的值相同且位置连续,所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期,所以第2008项被3除所得的余数为0.

题型二、余数定理、性质的运用

同余定义:

若两个整数a,b被自然数m除有相同的余数,那么称a,b对于模m同余,用式子表示为 a≡b(mod m) (*) 同余式(*)意味着(我们假设a≥b)a-b=mk,k是整数,即m|(a-b)

若两个数a,b除以同一个数c得到的余数相同,则a,b的差一定能被c整除

这条性质非常有用,一定要熟练掌握。下面是一些和同余有关的题目,这些题型都是考试经常出的,一定要掌握。

【例4】 一个大于1的自然数去除300,243,205时,得到相同的余数,则这个自然数是______

分析:余数相同,我们可以利用余数定理,这样我们用总结的知识点可知:任意两数的差肯定余0。那么这个自然数是300-243=57的约数,又是243-205=38的约数,因此就是57和38的公约数,因为57和38的最大公约数是19,所以这个自然数是19。

[拓展]:有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少?

分析:由于这三个数除以这个自然数后所得的余数和为25,所以63、90、130的和除以这个自然数后所得的余数为25,所以63+90+130-25=258能被这个自然数整除.258=2×3×43,显然当除数M为2、3、6时,3个余数的和最大为3×(2-1)=3,3×(3-1)=6,3×(6-1)=15,所以均不能满足条件.

当除数为43×2、43×3、43×6时,它除63的余数均是63,所以也不满足.

那么除数只能是43,它除63,90,130的余数依次为20,4,1,余数的和为25,满足. 显然这3个余数中最大的为20

【例5】 (清华附中入学测试题)一个大于1的数去除300,245,210时,得余数为a,a+2,a+5,则这个自然数为?

分析:观察余数,发现余数多2和5,正好是比前一题中被除数多的,所以方法同上,答案同上!