发布时间 : 星期六 文章高一数学第一章第一节集合的含义与表示 人教版A 必修1更新完毕开始阅读1485f23e80c758f5f61fb7360b4c2e3f56272574
答案：B 【教材链接】
1.教材第2页思考：
上面的例（3）到例（8）也能组成集合吗？它们的元素分别是什么？归纳总结这些例子，你能说出它们的共同特征吗？
答：例（3）到例（8）也能组成集合.
例（3）的元素是：金星汽车厂2020年生产的每一辆汽车；
例（4）的元素是：2020年1月1日之前与我国建立外交关系的每一个国家； 例（5）的元素是：每个正方形；
例（6）的元素是：到直线l的距离等于定长d的每一个点；
例（7）的元素是：方程x?3x?2?0的每个实数根即1、2；
例（8）的元素是：新华中学2020年9月入学的每个高一学生.
这些例子的共同特征是：每一个研究对象是元素，这些元素组成的总体构成了集合. 2. 教材第3页思考：
判断以下元素的全体是否构成集合，并说明理由： （1） 大于3小于11的偶数； （2） 我国的小河流 答：（1）大于3小于11的偶数组成集合，这个集合的元素是4，6，8，10.
（2）我国的小河流不能组成集合，因为小河流没有明确的标准，不符合集合元素的确定性，所以不能组成集合.
3. 教材第4页思考：
（1）你能用自然语言描述集合?2,4,6,8?吗？
（2）你能用列举法表示不等式x?7?3的解集吗？ 答：（1）自然语言：小于10的所有正偶数组成的集合.或大于1且小于9的所有偶数组成的集合．（答案不唯一）
（2）不能用列举法表示.因为不等式x?7?3的解是x?10，小于10的实数有无数个，并且这些数是连续的，所以不能用列举法表示.列举法适用于表示元素个数是有限个且较少的集合.
4.教材第6页思考：
（1）结合上述实例，试比较用自然语言、列举法、描述法表示集合时，各自的特点和适用的对象． （2）自己举出几个集合的例子，并分别用自然语言、列举法、描述法表示表示出来． 答：（1）自然语言的特点是富有表现力，是最基本的语言形式，但是具有多义性，有时难于表达，适用的范围非常广泛；列举法的特点是直观、明白，但有局限性，适用于元素个数较少的有限集；描述法具有抽象概括、普遍性的特点，适用于所含元素较多的有限集或无限集．
（2）例如，自然语言：联合国常任理事国；列举法：｛中国，美国，英国，法国，俄罗斯｝；描述法：｛x∣x是联合国常任理事国｝． 【教研中心】 [教学指导]
一、课标要求
1. 通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能选择集合不同的语言形式描述具体的问题，提高语言转换和抽象概括能力，树立用集合语言表示数学内容的意识；
2．知道常用数集及其专用符号，了解集合元素的确定性、互异性、无序性，并能够用其解决有关问题，提高学生分析、解决问题的能力，培养应用意识．
二、教学建议
2集合论是现代数学的一个重要的基础.在高中数学中，集合的初步知识与其它内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础.教材从学生熟悉的集合（自然数的集合、有理数的集合、不等式的解等）出发，结合实例给出元素、集合的含义，教材注重体现逻辑思考的方法，如抽象、概括等．
本节的重点是集合的含义与表示，其突破方法是结合学生的已有知识经验，通过大量的实例来学习；本节的难点是表示具体的集合时，如何从列举法和描述法中做出恰当的选择，其突破方法是对同一个集合用不同的方法来表示，具体体会它们的各自特点，归纳、总结各自的适用范围．
值得注意的问题：由于本小节的新概念、新符号较多，建议教学时先引导学生阅读教材，然后进行交流，让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用.在信息技术条件较好的学校，可以利用网络平台让学生交流学习后的认识；也可以由教师给出问题，让学生读后回答问题，再由教师给出评价.这样做的目的，在于培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力．在处理集合问题时，根据需要，及时提示学生运用集合语言进行表述．在安排训练时，建议把握好分寸，不宜搞偏题、怪题.
本节教学时间约需1课时． 【资源参考】
【走近大师】 为科学而疯的人——康托
康托(Contor,Georg)(1845-1918)，俄罗斯——德国数学家，集合论的创立人．康托自幼对数学有浓厚兴趣．23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究．他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础．
1874年，康托的有关无穷的概念震撼了数学界．康托凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质的新思想模式，建立了处理数学中无限的基本技巧，从而极大地推动了分析与逻辑的发展．他发现了惊人的结果：有理数是可列的，而全体实数是不可列的．
由于在研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又很荒谬的结果 (称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度．在1874—1876年期间，30岁的康托向神秘的无穷宣战．他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应．这样看起来，1厘米长线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后几年，康托对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论．
康托的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂．有人说，康托的集合论是一种“疾病”，康托的概念是“雾中之雾”，甚至说康托是“疯子”．
来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院．他在集合论方面许多非常出色的成果，都是在精神病发作的间歇时期获得的．
真金不怕火炼，康托的思想终于大放光彩．1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作．”可是这时康托仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦．1918年1月6日，康托病世． 【同步测控】
我夯基 我达标
1. 下列各组对象中不能构成集合的是
A.北京尼赏文化传播有限公司的全体员工 B.2020年全国经济百强县
C.2020年全国五一劳动奖章获得者 D.美国NBA的篮球明星
解析：根据集合元素的确定性来判断是否构成集合．因为A、B、C中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而D中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA球员是篮球明星，故不能构成集合.故选D.
答案：D
2．下列关系中正确的是 （ ）
A.0??(0,1)? B. 1??(0,1)? C.0?N D. 0?N+
解析：首先明确各个集合中的元素．?(0,1)?中的元素是点，不是数，∴A、B错误；0是自然数，不是正整数，∴D错误，C正确，故选C．
答案：C
3. 以下集合M与N中，是不同集合的是 （ ）
A.M??1,2,3?，N??3,2,1? B. M??1,2,3,4?，N?n?Zn?4 C. M??1,2?，N?xx2?3x?2?0 D．M???1,1?，N?xx?(?1)n 解析：根据相同集合的定义来判断．由集合元素的无序性知A中M?N;C中
??????N??xx2?3x?2?0???1,2??M;D中N??xx?(?1)n????1,1??M；B中N??n?Zn?4?＝
??LL,?2,?1,0,1,2,3,4??M,故选B．
答案：B
4．有以下四个命题：
①“所有相当小的正数”组成一个集合；
②由1，2，3，1，9组成的集合用列举法表示为?1,2,3,1,9?； ③{1，3，5，7}与{7，5，3，1}表示同一个集合； ④?y??x?表示函数y??x图象上的所有点组成的集合.
其中正确的是 （ ）
A.①③ B.①②③ C.③ D.③④
解析：依据集合元素的性质和描述法及列举法的表示含义来判断．①中“相当小的正数”的标准不明确，不能构成集合；②中元素1重复，不符合元素的互异性，构成的集合应是?1,2,3,9?；④的表示方法不对，由于集合的代表元素是点，而点用有序实数对(x,y)来表示，即正确的答案应表示为(x,y)y??x；③中依据集合元素的无序性知表示同一个集合，故选C．
答案：C
5．对于集合A??2,4,6?,若a?A,则6?a?A,那么实数a的值是 .
解析：需对a的值分类讨论．当a?2时, 6?a?4?A,则a?2符合题意；当a?4时,
??6?a?2?A,则a?4符合题意; 当a?6时, 6?a?0?A,则a?6不合题意，所以a?2,4．
答案: 2,4
6.集合(x,y)y?x2?1,x?2,x?Z可用列举法表示为 ．
解析：首先依据题意确定x的值，则对x分类讨论．由x?2,x?Z，得x??2,?1,0,1,2，则有????x??2,，
?y?3.?x?1,?x?2,?x??1,?x?0,，?，?，?．故用列举法表示为?(?2,3),(?1,0),(0,?1),(1,0),(2,3)?． ?y??1.y?0.y?3.y?0.????答案：?(?2,3),(?1,0),(0,?1),(1,0),(2,3)?
7．用适当方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集． （1）不超过10的非负偶数的集合； （2）大于10的所有自然数的集合．
思路分析：根据集合中元素的个数选择列举法还是描述法．
解：（1）不超过10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，共6个元素，故用列举法表示为?0,2,4,6,8,10?，这个集合是有限集；
（2）大于10的所有自然数的集合有无限个，故用描述法表示为xx?10,x?N，这个集合是无限集．
??答案（1）用列举法为?0,2,4,6,8,10?，是有限集；（2）用描述法表示为xx?10,x?N，是无限集． 8．设集合A＝x,x2,xy，集合B＝?1,x,y?，且集合A与集合B相等，求实数x,y的值.
思路分析：由集合A与集合B中的元素完全相同列出关于x,y的方程组，解方程组得实数x,y的值，要注意依据集合元素的互异性验根．
?????x2?1,?x2?y,解：由题意得?………①或?………②.
?xy?y.?xy?1.?x?1,?x??1,?x?1,?x??1,解①得?或?，经检验?不合题意舍去，则?；
y?R.y?0.y?R.y?0.?????x?1,?x?1,解②得?，经检验?不合题意舍去.
?y?1.?y?1.?x??1,综上所得?．
y?0.?答案：??x??1,
?y?0.我综合 我发展
9．（2020 山东高考卷，理科1文科1）定义集合运算：AeB?zz?xy(x?y),x?A,y?B，设 集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合AeB的所有元素之和为 （ ） A.0 B.6 C.12 D.18 解析：由于A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，x?A,y?B，故对x,y的取值分类讨论．当x＝0，y?B时，z＝0；当x＝1，y＝2时，z＝6；当x＝1，y＝3时，z＝12，故所有元素之和为0?6?12?18．故选D． 答案：D
10．集合?,,???392781243?,,?可用描述法表示为 ．
23456??3319322733,?,?解析：观察集合中元素的规律即元素的共同特征，再用描述法表示．?，
21?132?143?18134243353n?,?(n?N+,n?6)，则用描述法表示为 ，则元素的共同特征是54?165?1n?1??3nxx?,n?N,n?6??． +n?1????3n,n?N+,n?6? 答案：?xx?n?1??11．由x,?x,x,x,?x组成的集合元素的个数最多为几个？ 思路分析：讨论这几个数的大小关系，根据集合元素的互异性来确定．
解：设由x,?x,x,x,?x组成的集合记为M．∵x＝x,?x＝?x，∴由集合元素的互异性知集合M是由x,?x,x组成的．又∵x??233233233?x,x?0,知x必与x,?x中的一个相等，∴集合M是由x,?x组
?x,x?0.?233成的集合．当x??x，即x?0时，集合M中元素的个数最多有两个x,?x．因此由x,?x,x,x,?x组成的集合元素的个数最多为2个．
答案：2个